Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 51

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 51.1 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

  1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
  2. ist die Vereinigung aller .
  3. Sei . Das Element kommt in genau zwei der vor. In welchen?
  4. Die Halbachsenklasse enthält Elemente.


Aufgabe

Überprüfe die Formel
für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des , die nur eine Halbachsenklasse besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen , und () bestehen? Folgere, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann.


Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung

in bei nur die Lösungen besitzt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem und .


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des mit einer fixierten Halbachsenklasse . Bestimme den Kern des Gruppenhomomorphismus


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des mit drei Halbachsenklassen und es sei eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.


Aufgabe

Bestimme die Winkel zwischen den Halbachsen (der Symmetriegruppen) der platonischen Körper.


Aufgabe

Es seien zwei Halbachsen und im gegeben. Bestimme die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die in überführen.


Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der -Ebene mit als Mittelpunkt und mit als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide mit oberer Spitze und unterer Spitze . Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.


Aufgabe *

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte und , die den Eckpunkt auf schickt, und es sei die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche und den Mittelpunkt der Seitenfläche läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge , die durch und bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von und von sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ?

d) Man betrachte die Permutation , die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von .


Aufgabe

Sei eine Gruppe, eine Menge und

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von . Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.


Aufgabe *

  1. Zeige, dass die Gruppe nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ist.
  2. Zeige, dass man die Gruppe als Untergruppe der vollen Isometriegruppe realisieren kann.
  3. Cuboid diagonal-orthogonal.png

    Betrachte die eigentliche Symmetriegruppe eines Quaders mit drei verschiedenen Seitenlängen. Bei ihm ist zu jeder Geraden durch gegenüberliegende Seitenmittelpunkte die Halbdrehung um diese Achse eine Symmetrie. Widerspricht dies nicht Teil (1)?


Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der realisieren lässt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und vier Geraden im durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

eine lineare, eigentliche Isometrie mit für . Zeige, dass die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Drehungen um die -Achse, die -Achse und die -Achse mit den Ordungen ( ist also eine Drehung um den Winkel Grad um die -Achse, etc.). Es sei . Für welche Tupel ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Gruppe und seien Untergruppen von . Zeige folgende Aussagen.

  1. ist genau dann eine Gruppe, wenn gilt.
  2. Ist endlich, so gilt .
  3. Sind und echte Untergruppen von , so gilt .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe nicht die eigentliche Symmetriegruppe einer Teilmenge ist.



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