Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte $𝕂$-Vektorräume. Zeige, dass auf dem Homomorphismenraum ${\mathrm{Hom}}_{}(V,W)$ die Maximumsnorm in der Tat eine Norm ist.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume und sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor $v\in V$, $\Vert v\Vert =1$, mit

$\Vert \phi (v)\Vert =\Vert \phi \Vert$

gibt.

Aufgabe

Berechne für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 5\end{array}\right)$

a) die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,

b) die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem ${ℝ}^2$ in allen Kombinationen,

c) die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.

Aufgabe

Zeige, dass die Spaltensummennorm auf dem Matrizenraum ${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(𝕂)$ gleich der Maximumsnorm im Sinne von Definition 53.1 ist, wenn man die Räume ${𝕂}^n$ und ${𝕂}^m$ mit der Summennorm versieht.

Aufgabe

Betrachte die lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),$

wobei der ${ℝ}^2$ mit der euklidischen Norm versehen sei. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Norm von $\phi$.

Aufgabe

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶ℝ,(x_1,\dots ,x_n)⟼\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i,$

eine lineare Abbildung $\ne 0$. Bestimme einen Vektor  $v\in {ℝ}^n$  auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$, an dem die Funktion

$B(0,1)⟶ℝ,v⟼|\phi (v)|,$

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von $\phi$.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation

${\mathrm{Mat}}_{m\times n}(𝕂)\times {\mathrm{Mat}}_{n\times p}(𝕂)⟶{\mathrm{Mat}}_{m\times p}(𝕂),(A,B)⟼A\circ B,$

stetig ist.

Es sei

$f:L⟶M,x⟼f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen $L$ und $M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl  $c\ge 0$  mit

$d(f(x),f(y))\le c\cdot d(x,y)$

für alle  $x,y\in L$  gibt.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte $𝕂$-Vektorräume und

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum und $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung.

a) Zeige, dass für jeden Vektor  $v\in V$  die Abschätzung

$\Vert \phi (v)\Vert \le \Vert v\Vert$

genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

$\Vert \phi \Vert \le 1$

gilt.

b) Zeige, dass $\phi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (a) erfüllt, stabil ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein $\phi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (a) besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung

$\phi :V⟶W$

zwischen endlichdimensionalen normierten $𝕂$-Vektorräumen $V$ und $W$ genau dann stark kontrahierend ist, wenn  $\Vert \phi \Vert <1$  ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 1\\ 0& \mathrm{i}\end{array}\right).$

a) Erstelle eine Formel für $M^n$.

b) Ist die Folge $M^n$ beschränkt, ist sie konvergent?

Aufgabe *

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 1\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)}^n.$

Aufgabe

Es sei

$W={\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$

der Endomorphismenraum zu einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$. Welche Eigenschaften einer Norm erfüllt der Spektralradius $\phi \mapsto \rho (\phi )$, welche nicht?

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum und $v_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Folge in $V$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert (bezüglich einer beliebigen Norm), wenn für eine (jede) Basis sämtliche Komponentenfolgen in $𝕂$ konvergieren.

Aufgabe

Zeige, dass ein nilpotenter Endomorphismus

$\phi :V⟶V$

auf einem $𝕂$-Vektorraum $V$ asymptotisch stabil ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Endomorphismus

$\phi :V⟶V$

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum $V$ stabil ist.

Aufgabe

Zeige mit jeder Charakterisierung von Satz 53.10, dass eine Isometrie $\phi :V\to V$ auf einem euklidischen Vektorraum $V$ stabil ist.

Aufgabe

Es sei

$V=U\oplus W$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraumes und es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

$\phi =\psi \oplus \theta .$

Zeige, dass $\phi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl $\psi$ als auch $\theta$ asymptotisch stabil sind.

Aufgabe

Es sei

$V=U\oplus W$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraumes und es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

$\phi =\psi \oplus \theta .$

Zeige, dass $\phi$ genau dann stabil ist, wenn sowohl $\psi$ als auch $\theta$ stabil sind.

Aufgabe

Es sei

$V=U\oplus W$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraumes und es sei

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

$\phi =\psi \oplus \theta .$

Zeige, dass die Folge ${\phi }^n$ genau dann konvergiert, wenn sowohl ${\psi }^n$ als auch ${\theta }^n$ konvergieren.

Aufgabe

Zeige

${\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \cdots & 0& \lambda & 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\lambda }^n+n{\lambda }^{n-1}\\ {\lambda }^n\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge ${\phi }^n$ konvergiert in ${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)$.
2. Zu jedem  $v\in V$  konvergiert die Folge ${\phi }^n(v)$, $n\in \mathbb{N}$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem  $v_1,\dots ,v_m\in V$  derart, dass ${\phi }^n(v_j)$, $j=1,\dots ,m$, konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\phi$ ist kleiner oder gleich $1$ und falls der Betrag $1$ ist, so ist der Eigenwert selbst $1$ und diagonalisierbar.
5. Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\phi$, aufgefasst über $ℂ$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   $\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \lambda & 1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \cdots & 0& \lambda & 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)$

   mit  $|\lambda |<1$  oder gleich $(1)$.

Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte $𝕂$-Vektorräume und

$\psi :V⟶W$

ein Isomorphismus. Es sei

$f:V⟶V$

ein Endomorphismus und

$g:=\psi \circ f\circ {\psi }^{-1}$

der entsprechende Endomorphismus auf $W$. Zeige, dass $f$ genau dann stabil (asymptotisch stabil) ist, wenn dies auf $g$ zutrifft.

Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraumes $V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $\phi$ asymptotisch stabil ist, dann konvergiert die Folge ${(det\phi )}^n$, $n\in \mathbb{N}$, gegen $0$.

b) Wenn $\phi$ stabil ist, dann ist die Folge ${(det\phi )}^n$, $n\in \mathbb{N}$, beschränkt.

c) Wenn die Folge ${\phi }^n$, $n\in \mathbb{N}$, konvergiert, dann konvergiert die Folge ${(det\phi )}^n$, $n\in \mathbb{N}$, gegen $0$ oder gegen $1$.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge ${(det\phi )}^n$, $n\in \mathbb{N}$, gegen $0$ konvergiert.

Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein metrischer Raum und

$f_n:T⟶M$

($n\in \mathbb{N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes  $x\in T$  die Folge

${(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei  $M_k={\left({\left(a_{ij}\right)}_k\right)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$  eine Folge von reellen $m\times n$-Matrizen und

${\phi }_k:{ℝ}^n⟶{ℝ}^m$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${\left(a_{ij}\right)}_k$ für alle $i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale normierte $𝕂$-Vektorräume und $\phi :V\to W$ eine lineare Abbildung. Zeige die Abschätzung

$\Vert \phi (v)\Vert \le \Vert \phi \Vert \cdot \Vert v\Vert$

für alle  $v\in V$. 

Aufgabe (11 (1+9+1) Punkte)

Berechne für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -5& 7\end{array}\right)$

a) die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,

b) die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem ${ℝ}^2$ in allen Kombinationen,

c) die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis von $V$ aus Eigenvektoren von $\phi$ existiert. Zeige, dass

$\Vert \phi \Vert =max(|\lambda |,\lambda \text{ ist Eigenwert von }\phi )$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $𝕂$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) In der Folge $M^n$, $n\in \mathbb{N}$, gibt es eine Wiederholung, d.h.

$M^n=M^m$

für ein Zahlenpaar  $n<m$. 

b) In der Folge $M^n$, $n\in \mathbb{N}$, kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.

c) Die Folge $M^n$, $n\in \mathbb{N}$, wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.

d) Die Jordanblöcke

zu $M$ über $ℂ$ haben die Gestalt

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \cdots & 0& 0& 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right)$

oder $(\lambda )$ mit einer

komplexen Einheitswurzel $\lambda$.

Aufgabe (6 Punkte)

Die reelle Ebene ${ℝ}^2$ sei mit der euklidischen, der Summen- oder der Maximumsmetrik versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten  $P_1,\dots ,P_n\in {ℝ}^2$  derart, dass die Metrik auf der Teilmenge  $T=\{P_1,\dots ,P_n\}$  die diskrete Metrik induziert.