Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 53

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume. Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum ${}\operatorname {Hom} _{}{\left(V,W\right)}$ in der Tat eine Norm ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es einen Vektor ${}v\in V$, ${}\Vert {v}\Vert =1$, mit

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\varphi }\Vert \,$

gibt.

Aufgabe

Berechne für die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-3\\4&5\end{pmatrix}}$

1. die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
2. die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ in allen Kombinationen,
3. die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.

Aufgabe

Zeige, dass die Spaltensummennorm auf dem Matrizenraum ${}\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })$ gleich der Maximumsnorm im Sinne von Definition 53.1 ist, wenn man die Räume ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}{\mathbb {K} }^{m}$ mit der Summennorm versieht.

Aufgabe

Betrachte die lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

wobei der ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der euklidischen Norm versehen sei. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Norm von ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i},$

eine lineare Abbildung ${}\neq 0$. Bestimme einen Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ auf der abgeschlossenen Kugel mit Mittelpunkt ${}0$ und Radius ${}1$, an dem die Funktion

$B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \vert {\varphi (v)}\vert ,$

ihr Maximum annimmt. Bestimme die Norm von ${}\varphi$.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation

$\operatorname {Mat} _{m\times n}({\mathbb {K} })\times \operatorname {Mat} _{n\times p}({\mathbb {K} })\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times p}({\mathbb {K} }),\,(A,B)\longmapsto A\circ B,$

stetig ist.

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine reelle Zahl ${}c\geq 0$ mit

${}d{\left(f(x),f(y)\right)}\leq c\cdot d{\left(x,y\right)}\,$

für alle ${}x,y\in L$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ Lipschitz-stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung.

1. Zeige, dass für jeden Vektor ${}v\in V$ die Abschätzung

   ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,$

   genau dann gilt, wenn für die Supremumsnorm

   ${}\Vert {\varphi }\Vert \leq 1\,$

   gilt.

2. Zeige, dass ${}\varphi$, wenn es die Bedingungen aus Teil (1) erfüllt, stabil ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein ${}\varphi$, das stabil ist, das aber nicht die Eigenschaften aus Teil (1) besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen endlichdimensionalen normierten ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ genau dann stark kontrahierend ist, wenn ${}\Vert {\varphi }\Vert <1$ ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&1\\0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

1. Erstelle eine Formel für ${}M^{n}$.
2. Ist die Folge ${}M^{n}$ beschränkt, ist sie konvergent?

Aufgabe *

Bestimme eine Formel für die Potenzen

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.$

Aufgabe

Sei

${}W=\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\,$

der Endomorphismenraum zu einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$. Welche Eigenschaften einer Norm erfüllt der Spektralradius ${}\varphi \mapsto \rho (\varphi )$, welche nicht?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}v_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge in ${}V$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert (bezüglich einer beliebigen Norm), wenn für eine (jede) Basis sämtliche Komponentenfolgen in ${}{\mathbb {K} }$ konvergieren.

Aufgabe

Zeige, dass ein nilpotenter Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ asymptotisch stabil ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ stabil ist.

Aufgabe

Zeige mit jeder Charakterisierung von Satz 53.10, dass eine Isometrie ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$ stabil ist.

Aufgabe

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl ${}\psi$ als auch ${}\theta$ asymptotisch stabil sind.

Aufgabe

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann stabil ist, wenn sowohl ${}\psi$ als auch ${}\theta$ stabil sind.

Aufgabe

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass die Folge ${}\varphi ^{n}$ genau dann konvergiert, wenn sowohl ${}\psi ^{n}$ als auch ${}\theta ^{n}$ konvergieren.

Aufgabe

Zeige

${}{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}\\\lambda ^{n}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge ${}\varphi ^{n}$ konvergiert in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$.
2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und falls der Betrag ${}1$ ist, so ist der Eigenwert selbst ${}1$ und diagonalisierbar.
5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

   mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(1)$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und

$\psi \colon V\longrightarrow W$

ein Isomorphismus. Es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus und

${}g:=\psi \circ f\circ \psi ^{-1}\,$

der entsprechende Endomorphismus auf ${}W$. Zeige, dass ${}f$ genau dann stabil (asymptotisch stabil) ist, wenn dies auf ${}g$ zutrifft.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}\varphi$ asymptotisch stabil ist, dann konvergiert die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$.
2. Wenn ${}\varphi$ stabil ist, dann ist die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
3. Wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, konvergiert, dann konvergiert die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$ oder gegen ${}1$.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$ konvergiert.

Es sei ${}T$ eine Menge, ${}M$ ein metrischer Raum und

$f_{n}\colon T\longrightarrow M$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes ${}x\in T$ die Folge

${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}M_{k}=({(a_{ij}})_{k})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Folge von reellen ${}m\times n$-Matrizen und

$\varphi _{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge ${}({a_{ij}})_{k}$ für alle ${}i,j$ genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen punktweise konvergiert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige die Abschätzung

${}\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \,$

für alle ${}v\in V$.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Berechne für die Matrix

${\begin{pmatrix}6&-2\\-5&7\end{pmatrix}}$

1. die Maximumsnorm, die Summennorm, und die euklidische Norm,
2. die Maximumsnorm zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ in allen Kombinationen,
3. die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung derart, dass eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von ${}\varphi$ existiert. Zeige, dass

${}\Vert {\varphi }\Vert ={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}{\mathbb {K} }$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. In der Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gibt es eine Wiederholung, d.h.

   ${}M^{n}=M^{m}\,$

   für ein Zahlenpaar ${}n<m$.

2. In der Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.
3. Die Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, wird letztlich (also ab einer bestimmten Stelle) periodisch.
4. Die Jordanblöcke zu ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ haben die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&0&1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

   oder ${}(\lambda )$ mit einer

   komplexen Einheitswurzel ${}\lambda$.

Aufgabe (6 Punkte)

Die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der euklidischen, der Summen- oder der Maximumsmetrik versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die Metrik auf der Teilmenge ${}T=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ die diskrete Metrik induziert.