Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

\setcounter{section}{56}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien im $\R^2$ die \definitionsverweis {Basen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ \begin{pmatrix} 3 \\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -5 \\2 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Standardbasis $\mathfrak{ e }$ und in ${\mathbb C}$ die reellen Basen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ x } }
{ = }{ 8-2{ \mathrm i}, 6+3{ \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ y } }
{ = }{ 1,{ \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } {\mathbb C}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen \zusatzklammer {im Sinne einer kanonischen Isomorphie} {} {.} \aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } V }
{ \cong} {V \otimes_{ K } U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \otimes_{ K } W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \otimes_{ K } W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {} und \maabbdisp {\psi} {\R^2} { \R^2 } {} seien bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasen}{}{} durch die beiden \definitionsverweis {Matrizen}{}{} \mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} {} gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi \otimes \psi} { \R^2 \otimes \R^2 } { \R^2 \otimes \R^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $Z$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über $K$. Wir betrachten die Zuordnung
\mathl{V \mapsto V \otimes_{ K } Z}{,} die einem Vektorraum $V$ das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{V \otimes_{ K } Z}{} und einer $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} die \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} $\varphi \otimes \operatorname{Id}_{ Z }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Zur \definitionsverweis {Identität}{}{} \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V } {} ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Id}_{ V } \otimes \operatorname{Id}_{ Z } }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V \otimes Z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Identität. }{Zu linearen Abbildungen
\mathdisp {U \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} V \stackrel{\psi}{\longrightarrow} W} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi) \otimes \operatorname{Id}_{ Z } }
{ =} { { \left( \varphi \otimes \operatorname{Id}_{ Z } \right) } \circ { \left( \psi \otimes \operatorname{Id}_{ Z } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} ist auch
\mathl{\varphi \otimes \operatorname{Id}_{ Z }}{} ein Isomorphismus, und für die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \otimes \operatorname{Id}_{ Z } \right) }^{-1} }
{ =} { \varphi^{-1} \otimes \operatorname{Id}_{ Z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \oplus W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ K } W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und es seien
\mathdisp {U_{1,1} \subset U_{1,2} \subset \ldots \subset U_{1, \dim_{ K } { \left( V_1 \right) } } \subset V_1 , \ldots , U_{n,1} \subset U_{n,2} \subset \ldots \subset U_{n, \dim_{ K } { \left( V_n \right) } } \subset V_n} { }
\definitionsverweis {Fahnen}{}{} in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in
\mathl{V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n}{} geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt
\mathdisp {U_{1,j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_{n,j_n}} { }
haben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1, U_2 \subseteq V_2 , \ldots , U_n \subseteq V_n}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} mit den \definitionsverweis {Restklassenräumen}{}{}
\mathl{V_1/U_1 , \ldots , V_n/U_n}{.} Gibt es eine kanonische Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n)/( U_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_n) }
{ \cong} { ( V_1/U_1 ) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } (V_n/U_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \definitionsverweis {diagonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} gegeben. Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{} \maabbdisp {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {} diagonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \definitionsverweis {trigonalisierbare}{}{} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} gegeben. Zeige, dass auch das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{} \maabbdisp {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {} trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die lineare Abbildung \maabb {\varphi} {V} {V } {} sei bezüglich der Basis
\mathl{v_1,v_2}{} durch die \definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und die lineare Abbildung \maabb {\psi} {W} {W } {} sei bezüglich der Basis
\mathl{w_1,w_2}{} durch die Jordan-Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Bestimme die Matrix von \maabbdisp {\varphi \otimes \psi} {V \otimes W} {V \otimes W } {} bezüglich der Basis
\mathl{v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2}{.} } {Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von
\mathl{\varphi \otimes \psi}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n, W_1 , \ldots , W_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W_1 \right) } \times \cdots \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_n , W_n \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n , W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n \right) } } {(\varphi_1 , \ldots , \varphi_n )} {\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n, W_1 , \ldots , W_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus \maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 , W_1 \right) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_n , W_n \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n , W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n \right) } } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} { L } { L } { x } { fx } {,} $K$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} { K[X] } { L } { P } { P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P,Q }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P + Q)(a) }
{ = }{ P(a) +Q(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a) }
{ = }{ P(a) \cdot Q(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1(a) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren aus $V$. Zeige die folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein $K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein $L$-Erzeugendensystem von
\mathl{L \otimes V}{} ist. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann $K$-\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} \zusatzklammer {über $K$} {} {} in $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig \zusatzklammer {über $L$} {} {} in
\mathl{L \otimes V}{} ist. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine $L$-Basis von
\mathl{L \otimes V}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Wir betrachten die Zuordnung
\mathl{V \mapsto V_L= L \otimes_{ K } V}{,} die einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ den $L$-Vektorraum
\mathl{L \otimes_{ K } V}{} und einer $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} die \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} $\varphi_L$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Zur \definitionsverweis {Identität}{}{} \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V } {} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{Id}_{ V } \right) } _L }
{ =} { \operatorname{Id}_{ L \otimes_{ K } V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Identität. }{Zu linearen Abbildungen
\mathdisp {U \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} V \stackrel{\psi}{\longrightarrow} W} { }
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi)_L }
{ =} { \psi_L \circ \varphi_L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} ist auch
\mathl{\varphi_L}{} ein Isomorphismus, und für die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi_L \right) }^{-1} }
{ =} { { \left( \varphi^{-1} \right) }_L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn $L$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler Vektorraum}{}{} über $K$ ist.

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Dann nennt man die $K$-\definitionsverweis {Vektorraumdimension}{}{} von $L$ den \definitionswort {Grad}{} der Körpererweiterung.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{} derart, dass $M$ über $K$ \definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Zeige, dass dann auch $M$ über $L$ und $L$ über $K$ endlich sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
\mathbeddisp {x_i x_j} {}
{1 \leq i\leq j \leq n} {}
{} {} {} {,} eindeutig festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente, die eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xv_1 , \ldots , xv_n }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $K$-Basis von $L$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und seien $V_1 , \ldots , V_n$ $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \otimes_{ K } { \left( V_1 \otimes_{ K } \cdots \otimes_{ K } V_n \right) } }
{ =} { { \left( L \otimes_{ K } V_1 \right) } \otimes_{ L } \cdots \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {endlich}{}{} ist.

}
{} {}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Man nennt $A$ eine \definitionsverweis {kommutative}{}{} \definitionswortpraemath {K}{ Algebra }{,} wenn es ein ausgezeichnetes Element $1$ und eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{,} genannt \definitionswort {Multiplikation}{,} \maabbeledisp {} {A \times A} {A } {(a,b)} { a \cdot b } {,} gibt, die die Bedingungen \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot a }
{ =} {a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Die Verknüpfung ist \definitionsverweis {assoziativ}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \cdot b }
{ =} {b \cdot a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ca }
{ =} { (c 1) \cdot a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei \mathkor {} {ca} {und} {c1} {} die Skalarmultiplikation bezeichen. } erfüllen.

Wichtige Beispiele für $K$-Algebren werden durch Körpererweiterungen
\mathl{K \subseteq L}{} gegeben. Aber auch der Polynomring
\mathl{K[X]}{} ist eine $K$-Algebra.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} \definitionsverweis {Algebren}{}{} über $K$. Zeige, dass
\mathl{A \otimes_{ K } B}{} ebenfalls eine $K$-Algebra ist, wobei die $1$ durch $1 \otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( a \otimes b) \cdot ( c \otimes d) }
{ \defeq} { (a \cdot c) \otimes (b \cdot d) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} festgelegt ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben bedeutet $\cong$, dass sich die Addition, die Multiplikation, die $0$ und die $1$ entsprechen.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass für den \definitionsverweis {Polynomring}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \otimes_{ K } K[X] }
{ \cong} { L[X] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass für \definitionsverweis {Polynomringe}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X] \otimes_{ K } K[Y] }
{ \cong} { K[X,Y] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und $A$ eine $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass
\mathl{L \otimes_{ K } A}{} eine $L$-Algebra ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien im $\R^2$ die \definitionsverweis {Basen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v } }
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\-5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -4 \\7 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Standardbasis $\mathfrak{ e }$ und im $\R^3$ die Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ x } }
{ = }{ \begin{pmatrix} -3 \\4\\ -5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\-1\\ 6 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 5 \\2\\ 4 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt
\mathl{\R^2 \otimes_{ \R } \R^3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U_1 , \ldots , U_n, V_1 , \ldots , V_n,W_1 , \ldots , W_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \maabbdisp {\psi_i} { U_i} {V_i } {} und \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i } {} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \varphi_1\circ \psi_1) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } ( \varphi_n \circ \psi_n) }
{ =} { ( \varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n ) \circ ( \psi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \psi_n ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und \maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n} { V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {} die zugehörige \definitionsverweis {Tensorproduktabbildung}{}{.} Es sei $a_i$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi_i$. Zeige, dass
\mathl{a_1 \cdots a_n}{} ein Eigenwert von $\varphi$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbdisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } {K } {,} die sich aus der Identifizierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } }
{ =} { { V }^{ * } \otimes_{ K } V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gemäß Aufgabe 55.15 und der natürlichen Abbildung \maabbeledisp {} { { V }^{ * } \otimes_{ K } V } { K } {f \otimes v} { f(v) } {,} im Sinne von Aufgabe 55.14 ergibt, gleich der \definitionsverweis {Spur}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+4)}
{

Die lineare Abbildung \maabb {\varphi} {V} {V } {} sei bezüglich der Basis
\mathl{v_1,v_2}{} durch die \definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und die lineare Abbildung \maabb {\psi} {W} {W } {} sei bezüglich der Basis
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} durch die Jordan-Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben. \aufzaehlungzwei {Bestimme die Matrix von \maabbdisp {\varphi \otimes \psi} {V \otimes W} {V \otimes W } {} bezüglich der Basis
\mathl{v_1 \otimes w_1, v_1 \otimes w_2, v_1 \otimes w_3, v_2 \otimes w_1, v_2 \otimes w_2 , v_2 \otimes w_3}{.} } {Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von
\mathl{\varphi \otimes \psi}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{U_1 \subseteq V_1, U_2 \subseteq V_2 , \ldots , U_n \subseteq V_n}{} \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} mit den \definitionsverweis {Restklassenräumen}{}{}
\mathl{V_1/U_1 , \ldots , V_n/U_n}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} der kanonischen Abbildung \maabbdisp {} { V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} { ( V_1/U_1 ) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } (V_n/U_n) } {} gleich
\mathdisp {\sum_j V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_{j-1} \otimes U_j \otimes V_{j+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{L \otimes_{ K } L}{} kein Körper sein muss.

}
{} {}