Hom/Als Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei $V^{\ast }$ der Dualraum zu $V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine multilineare Abbildung

$V^{\ast }\times W⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,W),(f,w)⟼(v\mapsto f(v)w).$

b) Es gibt eine lineare Abbildung

$\psi :V^{\ast }\otimes W⟶{\mathrm{Hom}}_K(V,W),$

die $f\otimes w$ auf die lineare Abbildung $v\mapsto f(v)w$ abbildet.

c) Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist $\psi$ aus Teil (b) ein Isomorphismus.

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