Hom/Als Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}{V}^{*}$ der Dualraum zu ${}V$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine multilineare Abbildung

${V}^{*}\times W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},\,(f,w)\longmapsto {\left(v\mapsto f(v)w\right)}.$

b) Es gibt eine lineare Abbildung

$\psi \colon {V}^{*}\otimes W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},$

die ${}f\otimes w$ auf die lineare Abbildung ${}v\mapsto f(v)w$ abbildet.

c) Wenn ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind, so ist ${}\psi$ aus Teil (b) ein Isomorphismus.

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