Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien im ${ℝ}^2$ die Basen  $𝔳=\left(\begin{array}{c}3\\ -7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5\\ 2\end{array}\right)$  und die Standardbasis $𝔢$ und in $ℂ$ die reellen Basen  $𝔵=8-2\mathrm{i},6+3\mathrm{i}$  und  $𝔶=1,\mathrm{i}$  gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}ℂ$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Zeige die folgenden Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).

1. Es ist

   $U{\otimes }_{K}V\cong V{\otimes }_{K}U.$

2. Es ist

   $U{\otimes }_K\left(V{\otimes }_{K}W\right)\cong \left(U{\otimes }_{K}V\right){\otimes }_{K}W.$

Aufgabe

Die linearen Abbildungen

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

und

$\psi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

seien bezüglich der Standardbasen durch die beiden Matrizen $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -4& 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$ gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung

$\phi \otimes \psi :{ℝ}^2\otimes {ℝ}^2⟶{ℝ}^2\otimes {ℝ}^2.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $Z$ ein Vektorraum über $K$. Wir betrachten die Zuordnung $V\mapsto V{\otimes }_{K}Z$, die einem Vektorraum $V$ das Tensorprodukt $V{\otimes }_{K}Z$ und einer $K$-linearen Abbildung

$\phi :V⟶W$

die Tensorierung $\phi \otimes {\mathrm{Id}}_Z$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   ${\mathrm{Id}}_V:V⟶V$

   ist auch

   ${\mathrm{Id}}_V\otimes {\mathrm{Id}}_Z={\mathrm{Id}}_{V\otimes Z}$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U\stackrel{\phi }{⟶}V\stackrel{\psi }{⟶}W$

   ist

   $(\psi \circ \phi )\otimes {\mathrm{Id}}_Z=(\phi \otimes {\mathrm{Id}}_Z)\circ (\psi \otimes {\mathrm{Id}}_Z).$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\phi :V⟶W$

   ist auch $\phi \otimes {\mathrm{Id}}_Z$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${(\phi \otimes {\mathrm{Id}}_Z)}^{-1}={\phi }^{-1}\otimes {\mathrm{Id}}_Z.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass eine kanonische Isomorphie

$U{\otimes }_K(V\oplus W)\cong \left(U{\otimes }_{K}V\right)\oplus \left(U{\otimes }_{K}W\right)$

vorliegt.

Aufgabe *

Es seien $V_1,\dots ,V_n$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und es seien

$U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \dots \subset U_{1,{\dim }_K\left(V_1\right)}\subset V_1,\dots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \dots \subset U_{n,{\dim }_K\left(V_n\right)}\subset V_n$

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in $V_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{V}_n$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

$U_{1,j_1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{U}_{n,j_n}$

haben.

Aufgabe *

Es seien $U_1\subseteq V_1,U_2\subseteq V_2,\dots ,U_n\subseteq V_n$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen $V_1/U_1,\dots ,V_n/U_n$. Gibt es eine kanonische Isomorphie

$(V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n)/(U_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{U}_n)\cong (V_1/U_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}(V_n/U_n)?$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n$ Vektorräume über $K$. Es seien diagonalisierbare $K$-lineare Abbildungen

${\phi }_i:V_i⟶V_i$

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

${\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n:V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$

diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n$ Vektorräume über $K$. Es seien trigonalisierbare $K$-lineare Abbildungen

${\phi }_i:V_i⟶V_i$

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

${\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n:V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$

trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Die lineare Abbildung $\phi :V\to V$ sei bezüglich der Basis $v_1,v_2$ durch die Jordan-Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ und die lineare Abbildung $\psi :W\to W$ sei bezüglich der Basis $w_1,w_2$ durch die Jordan-Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ gegeben.

1. Bestimme die Matrix von

   $\phi \otimes \psi :V\otimes W⟶V\otimes W$

   bezüglich der Basis $v_1\otimes w_1,v_1\otimes w_2,v_2\otimes w_1,v_2\otimes w_2$.

2. Bestimme die jordansche Normalform von $\phi \otimes \psi$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{Hom}}_K(V_1,W_1)\times \cdots \times {\mathrm{Hom}}_K(V_n,W_n)⟶{\mathrm{Hom}}_K(V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n,W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n),({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)⟼{\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n,$

multilinear ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus

${\mathrm{Hom}}_K(V_1,W_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\mathrm{Hom}}_K(V_n,W_n)⟶{\mathrm{Hom}}_K(V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n,W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n)$

gibt.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und  $f\in L$.  Zeige, dass die Abbildung

${\mu }_f:L⟶L,x⟼fx,$

$K$-linear ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und es sei  $a\in L$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶L,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1.  $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$, 
2.  $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$, 
3.  $1(a)=1$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Es sei $v_i$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie $v_i$, $i\in I$, ist genau dann ein $K$-Erzeugendensystem von $V$, wenn $1\otimes v_i$, $i\in I$, ein $L$-Erzeugendensystem von $L\otimes V$ ist.
2. Die Familie $v_i$, $i\in I$, ist genau dann $K$-linear unabhängig (über $K$) in $V$, wenn $1\otimes v_i$, $i\in I$, linear unabhängig (über $L$) in $L\otimes V$ ist.
3. Die Familie $v_i$, $i\in I$, ist genau dann eine $K$-Basis von $V$, wenn $1\otimes v_i$, $i\in I$, eine $L$-Basis von $L\otimes V$ ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung $V\mapsto V_L=L{\otimes }_{K}V$, die einem $K$-Vektorraum $V$ den $L$-Vektorraum $L{\otimes }_{K}V$ und einer $K$-linearen Abbildung

$\phi :V⟶W$

die Tensorierung ${\phi }_L$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zur Identität

   ${\mathrm{Id}}_V:V⟶V$

   ist

   ${\left({\mathrm{Id}}_V\right)}_L={\mathrm{Id}}_{L{\otimes }_{K}V}$

   die Identität.

2. Zu linearen Abbildungen

   $U\stackrel{\phi }{⟶}V\stackrel{\psi }{⟶}W$

   ist

   $(\psi \circ \phi {)}_L={\psi }_L\circ {\phi }_L.$

3. Zu einem Isomorphismus

   $\phi :V⟶W$

   ist auch ${\phi }_L$ ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt

   ${\left({\phi }_L\right)}^{-1}={\left({\phi }^{-1}\right)}_L.$

Eine Körpererweiterung  $K\subseteq L$  heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die $K$-Vektorraumdimension von $L$ den Grad der Körpererweiterung.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung  $ℝ\subseteq ℂ$. 

Aufgabe

Es seien  $K\subseteq L\subseteq M$  Körpererweiterungen derart, dass $M$ über $K$ endlich ist. Zeige, dass dann auch $M$ über $L$ und $L$ über $K$ endlich sind.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  $x_1,\dots ,x_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte

$x_i{x}_j,1\le i\le j\le n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und seien  $v_1,\dots ,v_n\in L$  Elemente, die eine $K$-Basis von $L$ bilden. Sei $x\in L$, $x\ne 0$. Zeige, dass auch  $x{v}_1,\dots ,x{v}_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$ bilden.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und seien $V_1,\dots ,V_n$ $K$-Vektorräume. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der $L$-Vektorräume

$L{\otimes }_K(V_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{V}_n)=\left(L{\otimes }_K{V}_1\right){\otimes }_L\cdots {\otimes }_L\left(L{\otimes }_K{V}_n\right).$

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq ℝ$  nicht endlich ist.

Es sei $K$ ein Körper und sei $A$ ein $K$-Vektorraum. Man nennt $A$ eine kommutative $K$-Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element $1$ und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

$A\times A⟶A,(a,b)⟼a\cdot b,$

gibt, die die Bedingungen

1. Es ist

   $1\cdot a=a$

   für alle  $a\in A$. 

2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
3. Es ist

   $a\cdot b=b\cdot a$

   für alle  $a\in A$. 

4. Für  $c\in K$  und  $a\in A$  ist

   $ca=(c1)\cdot a,$

   wobei $ca$ und $c1$ die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.

Wichtige Beispiele für $K$-Algebren werden durch Körpererweiterungen $K\subseteq L$ gegeben. Aber auch der Polynomring $K[X]$ ist eine $K$-Algebra.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $A$ und $B$ Algebren über $K$. Zeige, dass $A{\otimes }_{K}B$ ebenfalls eine $K$-Algebra ist, wobei die $1$ durch $1\otimes 1$ und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch

$(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)$

festgelegt ist.

In den folgenden Aufgaben bedeutet $\cong$, dass sich die Addition, die Multiplikation, die $0$ und die $1$ entsprechen.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass für den Polynomring die Gleichheit

$L{\otimes }_{K}K[X]\cong L[X]$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass für Polynomringe die Gleichheit

$K[X]{\otimes }_{K}K[Y]\cong K[X,Y]$

gilt.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und $A$ eine $K$-Algebra. Zeige, dass $L{\otimes }_{K}A$ eine $L$-Algebra ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien im ${ℝ}^2$ die Basen  $𝔳=\left(\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\end{array}\right)$  und die Standardbasis $𝔢$ und im ${ℝ}^3$ die Basis  $𝔵=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ -5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 4\end{array}\right)$  und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt ${ℝ}^2{\otimes }_{ℝ}{ℝ}^3$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und seien $U_1,\dots ,U_n,V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ Vektorräume über $K$. Es seien

${\psi }_i:U_i⟶V_i$

und

${\phi }_i:V_i⟶W_i$

$K$-lineare Abbildungen. Zeige

$({\phi }_1\circ {\psi }_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}({\phi }_n\circ {\psi }_n)=({\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n)\circ ({\psi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\psi }_n).$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $V_1,\dots ,V_n$ Vektorräume über dem Körper $K$ und

${\phi }_i:V_i⟶V_i$

lineare Abbildungen und

$\phi ={\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n:V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$

die zugehörige Tensorproduktabbildung. Es sei $a_i$ ein Eigenwert von ${\phi }_i$. Zeige, dass $a_1\cdots a_n$ ein Eigenwert von $\phi$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)⟶K,$

die sich aus der Identifizierung

${\mathrm{End}}_{}\left(V\right)=V^{\ast }{\otimes }_{K}V$

gemäß Aufgabe 55.15 und der natürlichen Abbildung

$V^{\ast }{\otimes }_{K}V⟶K,f\otimes v⟼f(v),$

im Sinne von Aufgabe 55.14 ergibt, gleich der Spur ist.

Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Die lineare Abbildung $\phi :V\to V$ sei bezüglich der Basis $v_1,v_2$ durch die Jordan-Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ und die lineare Abbildung $\psi :W\to W$ sei bezüglich der Basis $w_1,w_2,w_3$ durch die Jordan-Matrix $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ gegeben.

1. Bestimme die Matrix von

   $\phi \otimes \psi :V\otimes W⟶V\otimes W$

   bezüglich der Basis $v_1\otimes w_1,v_1\otimes w_2,v_1\otimes w_3,v_2\otimes w_1,v_2\otimes w_2,v_2\otimes w_3$.

2. Bestimme die jordansche Normalform von $\phi \otimes \psi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $U_1\subseteq V_1,U_2\subseteq V_2,\dots ,U_n\subseteq V_n$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen $V_1/U_1,\dots ,V_n/U_n$. Zeige, dass der Kern der kanonischen Abbildung

$V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶(V_1/U_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}(V_n/U_n)$

gleich

$\sum _j{V}_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_{j-1}\otimes U_j\otimes V_{j+1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass $L{\otimes }_{K}L$ kein Körper sein muss.