Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 56

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien im die Basen und die Standardbasis und in die reellen Basen und gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt .


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien -Vektorräume. Zeige die folgenden Aussagen (im Sinne einer kanonischen Isomorphie).

  1. Es ist
  2. Es ist


Aufgabe

Die linearen Abbildungen

und

seien bezüglich der Standardbasen durch die beiden Matrizen und gegeben. Bestimme die Matrix zur linearen Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei ein Vektorraum über . Wir betrachten die Zuordnung , die einem Vektorraum das Tensorprodukt und einer -linearen Abbildung

die Tensorierung zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zur Identität

    ist auch

    die Identität.

  2. Zu linearen Abbildungen

    ist

  3. Zu einem Isomorphismus

    ist auch ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Zeige, dass eine kanonische Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe *

Es seien endlichdimensionale -Vektorräume und es seien

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

haben.


Aufgabe

Es seien Untervektorräume mit den Restklassenräumen . Gibt es eine kanonische Isomorphie


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien diagonalisierbare -lineare Abbildungen

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

diagonalisierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien trigonalisierbare -lineare Abbildungen

gegeben. Zeige, dass auch das Tensorprodukt

trigonalisierbar ist.


Aufgabe

Die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix und die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix gegeben.

  1. Bestimme die Matrix von

    bezüglich der Basis .

  2. Bestimme die jordansche Normalform von .


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Zeige, dass die Abbildung

multilinear ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus

gibt.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und . Zeige, dass die Abbildung

-linear ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Körpererweiterung. Es sei , , eine Familie von Vektoren aus . Zeige die folgende Aussagen.

  1. Die Familie , , ist genau dann ein -Erzeugendensystem von , wenn , , ein -Erzeugendensystem von ist.
  2. Die Familie , , ist genau dann -linear unabhängig (über ) in , wenn , , linear unabhängig (über ) in ist.
  3. Die Familie , , ist genau dann eine -Basis von , wenn , , eine -Basis von ist.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung. Wir betrachten die Zuordnung , die einem -Vektorraum den -Vektorraum und einer -linearen Abbildung

die Tensorierung zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Zur Identität

    ist

    die Identität.

  2. Zu linearen Abbildungen

    ist

  3. Zu einem Isomorphismus

    ist auch ein Isomorphismus, und für die Umkehrabbildung gilt


Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.


Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die -(Vektorraum-)Dimension von den Grad der Körpererweiterung.


Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung .


Aufgabe

Seien Körpererweiterungen derart, dass über endlich ist. Zeige, dass dann auch über und über endlich sind.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine -Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte

eindeutig festgelegt ist.


Aufgabe

Sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine -Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und seien -Vektorräume. Zeige, dass es eine kanonische Isomorphie der -Vektorräume


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.


Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Man nennt eine kommutative -Algebra, wenn es ein ausgezeichnetes Element und eine Verknüpfung, genannt Multiplikation,

gibt, die die Bedingungen

  1. Es ist

    für alle .

  2. Die Verknüpfung ist assoziativ.
  3. Es ist

    für alle .

  4. Für und ist

    wobei und die Skalarmultiplikation bezeichen.

erfüllen.


Wichtige Beispiele für -Algebren werden durch Körpererweiterungen gegeben. Aber auch der Polynomring ist eine -Algebra.

Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Algebren über . Zeige, dass ebenfalls eine -Algebra ist, wobei die durch und die Multiplikation für zerlegbare Tensoren durch

festgelegt ist.


In den folgenden Aufgaben bedeutet , dass sich die Addition, die Multiplikation, die und die entsprechen.

Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass für den Polynomring die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass für Polynomringe die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und eine -Algebra. Zeige, dass eine -Algebra ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien im die Basen und die Standardbasis und im die Basis und die Standardbasis gegeben. Bestimme die Übergangsmatrix zu den zugehörigen Basen auf dem Tensorprodukt .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

und

-lineare Abbildungen. Zeige


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen und

die zugehörige Tensorproduktabbildung. Es sei ein Eigenwert von . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

die sich aus der Identifizierung

gemäß Aufgabe 55.15 und der natürlichen Abbildung

im Sinne von Aufgabe 55.14 ergibt, gleich der Spur ist.


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix und die lineare Abbildung sei bezüglich der Basis durch die Jordan-Matrix gegeben.

  1. Bestimme die Matrix von

    bezüglich der Basis .

  2. Bestimme die jordansche Normalform von .


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Untervektorräume mit den Restklassenräumen . Zeige, dass der Kern der kanonischen Abbildung

gleich

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass kein Körper sein muss.



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