Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fingerpermutation2.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Fingerpermutation2.jpg } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen \zusatzklammer {aufeinander abgebildeten} {} {} Fingerspitzen berühren. \aufzaehlungsechs{Realisiere die \anfuehrung{natürliche}{} Bijektion. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren \zusatzklammer {benachbarte Transposition} {} {.} }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren \zusatzklammer {Transposition} {} {.} }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt. }{Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {bijektiven}{}{} Funktionen \maabb {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {oder zwischen Teilmengen von $\R$} {} {} kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die \definitionsverweis {Umkehrabbildungen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ < }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x_1)
}
{ < }{ f(x_2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {} {\Q_{\geq 0}} { \Q_{\geq 0} } {x} {x^2 } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{?} Ist sie \definitionsverweis {surjektiv}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^3+3x^2-4 \text{ und } \psi(x)=x^2+5x-3} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {surjektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {F} {L} {M
} {}
und
\maabb {G} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {injektive Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{G \circ F}{} ebenfalls injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo $G$ die Leute in einem Kurs sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die möglichen
\zusatzklammer {in Hinblick auf die Teilnehmer} {} {}
kursinternen Parties sind. Bei
Aufgabe 2.16
denke man an $A=$ Damen im Kurs, $B=$ Herren im Kurs.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mathl{\mathfrak {P} \, (G )}{} ihre
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (G ) } { \mathfrak {P} \, (G )
} {T} { \complement T
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Wie lautet die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, ( G )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }
}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie kann man sich den \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R } {} und wie sich den Graphen einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R} { \R^2 } {} vorstellen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {F} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen
\maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T,T_1,T_2
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {:}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cap T_2)
}
{ =} { F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cup T_2)
}
{ =} { F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(M \setminus T)
}
{ =} { L \setminus F^{-1} (T)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {F} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bildnehmen}{}{}
\maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L ) } { \mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S)
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ S,S_1,S_2
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {:}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F (S_1 \cap S_2)
}
{ \subseteq }{ F (S_1) \cap F (S_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(S_1 \cup S_2)
}
{ = }{ F(S_1) \cup F (S_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(L \setminus S)
}
{ \supseteq }{ F(L) \setminus F (S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L ) } {T} {F^{-1}(T) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Es bezeichne
\mathl{\Psi^n}{} die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $\Psi$.
\aufzaehlungdrei{Berechne
\mathdisp {\Psi (6,5,2,8), \, \Psi^2 (6,5,2,8), \, \Psi^3 (6,5,2,8), \, \Psi^4 (6,5,2,8)\, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist.
}{Berechne
\mathdisp {\Psi (1,10,100,1000), \, \Psi^2 (1,10,100,1000), \, \Psi^3 (1,10,100,1000), \, \Psi^4 (1,10,100,1000) \, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist.
}{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi^4 (0,0,n,0)
}
{ = }{ (0,0,0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Bestimme, ob $\Psi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
und ob $\Psi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\Q_{\geq 0}^4} { \Q_{\geq 0}^4
} {,}
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
}
{} {}
Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 23.16.
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist auch $g$ surjektiv.
}
{Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M
} {x} {\varphi(x)
} {,}
die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} }
gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {}
von $\varphi$ mit sich selbst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} {\operatorname{Abb} \, { \left( L , M \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( \mathfrak {P} \, (M ) , \mathfrak {P} \, (L ) \right) } } {f} { f^{-1}} {,} bei der einer Abbildung das \definitionsverweis {Urbildnehmen}{}{} zugeordnet wird.
a) Zeige, dass $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \neq }{\emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\Psi$ nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Aufgabe zum Aufgeben}
Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.
\inputaufgabe
{8}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen
\mathl{\Psi^n (a,b,c,d)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ 25
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
}
{} {}