Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 2
- Die Pausenaufgabe
Es sollen möglichst viele bijektive Abbildungen zwischen den Fingerspitzen der linken Hand und den Fingerspitzen der rechten Hand dadurch realisiert werden, dass sich jeweils die zugehörigen (aufeinander abgebildeten) Fingerspitzen berühren.
- Realisiere die „natürliche“ Bijektion.
- Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei benachbarte Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (benachbarte Transposition).
- Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber vertauscht berühren und die drei anderen Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren (Transposition).
- Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau zwei Fingerspitzen ihr natürliches Gegenüber berühren.
- Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen genau eine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
- Realisiere diejenigen Bijektionen, bei denen keine Fingerspitze ihr natürliches Gegenüber berührt.
- Übungsaufgaben
Man gebe Beispiele für Abbildungen
derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?
Welche bijektiven Funktionen (oder zwischen Teilmengen von ) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?
- Es sei die Menge aller
(lebenden oder verstorbenen)
Menschen. Untersuche die Abbildung
die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.
- Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
- Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
- Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.
Eine Funktion
heißt streng wachsend, wenn für alle mit auch gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion injektiv ist.
Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.
Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo die Leute in einem Kurs sind und
die möglichen
(in Hinblick auf die Teilnehmer)
kursinternen Parties sind. Bei
Aufgabe 2.16
denke man an Damen im Kurs, Herren im Kurs.
Es sei eine Menge und ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung
bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?
Es sei eine Menge, die als disjunkte Vereinigung
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge und der Produktmenge .
Man mache sich diese Situation für und klar.
Es sei eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):
Es sei eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen
folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ):
- ,
- ,
- .
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen
surjektiv ist.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen
injektiv ist.
Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Es bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von .
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Berechne
bis das Ergebnis das Nulltupel ist.
- Zeige für jedes .
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere
Aufgabe 23.16.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.
Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte auf der Menge die Abbildung
die durch die Wertetabelle
gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und Mengen. Wir betrachten die Abbildung
bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.
a) Zeige, dass injektiv ist.
b) Es sei . Zeige, dass nicht surjektiv ist.
- Die Aufgabe zum Aufgeben
Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.
Aufgabe (8 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen für nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .
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