Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-4,3)} {und} {(5,-6)} {} verläuft.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-4+5y
}
{ =} {8z+7x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2-4x+z
}
{ =} { 2y+3x+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z-3x +2x +3
}
{ =} { 5x-11y+2z-8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in Standardgestalt und löse es.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
{ \mathrm i} x &+y & +(2- { \mathrm i})z & = & 2 \\ & 7y& +2 { \mathrm i} z &=& -1+3 { \mathrm i} \\ & & (2-5 { \mathrm i}) z &=& 1 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ der in
Beispiel 3.8
eingeführte
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit zwei Elementen. Löse in $K$ das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde zu einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.
}
{} {}
Der Körper
\mathl{\Q[\sqrt{3}]}{} besteht aus allen reellen Zahlen der Form
\mathl{a+b \sqrt{3}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das inverse Element zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b \sqrt{3}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2 +3b^2 } } - { \frac{ b }{ a^2 +3b^2 } } \sqrt{3}}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Q[\sqrt{3}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{:}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & - 2 -3 \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1- \sqrt{3} \\ 4 -2 \sqrt{3} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
4 x
+7 y
+3 z & = & 4 \\
11 x
+9 y
+13 z & = & 9 \\
6 x
+8 y
+5 z & = & 2 \,
\end{matrix}} { }
mit dem
\definitionsverweis {Einsetzungsverfahren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
5 x
+6 y
+2 z & = & 6 \\
4 x
+8 y
+9 z & = & 5 \\
11 x
+5 y
+7 z & = & 8 \,
\end{matrix}} { }
mit dem
\definitionsverweis {Gleichsetzungsverfahren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über $\Q$, das aus den beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 7 } } x + { \frac{ 4 }{ 9 } } y - { \frac{ 3 }{ 15 } } z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 35 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 5 }{ 3 } } x + { \frac{ 1 }{ 4 } } y - { \frac{ 6 }{ 7 } } z
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
} {Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{}
über $\Q$ ein dazu
\definitionsverweis {äquivalentes}{}{}
Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ ein dazu \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Aus den Rohstoffen $R_1,R_2$ und $R_3$ werden verschiedene Produkte
\mathl{P_1,P_2,P_3,P_4}{} hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist,
um die verschiedenen Produkte herzustellen
\zusatzklammer {jeweils in geeigneten Einheiten} {} {.}
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $R_1$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $R_2$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $R_3$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $P_1$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $P_2$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $P_3$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $P_4$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 6 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 2 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 3 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 4 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 1 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 0 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 5 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 2 }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 2 }
\renewcommand{\avierxzwei}{ 1 }
\renewcommand{\avierxdrei}{ 5 }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxdrei
a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.
b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.
\wertetabellevierausteilzeilen { }
{\mazeileundvier { P_1 } { P_2 } { P_3 } {P_4 } }
{ }
{\mazeileundvier {6} {4} {7} {5} }
Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?
c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.
\wertetabelledreiausteilzeilen { }
{\mazeileunddrei { R_1 } {R_2 } {R_3 } }
{ }
{\mazeileunddrei {12} {9} {13} }
Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{\begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n$-Tupel über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Dx
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und wie löst man es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die
\definitionsverweis {linearen Gleichungssysteme}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\9 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\5 \end{pmatrix}} { }
simultan.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3punktsmodell.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 3punktsmodell.svg } {} {Indolences} {Commons} {gemeinfrei} {.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x+b_1y
}
{ \geq} {c_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2x+b_2y
}
{ \geq} {c_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3x+b3y
}
{ \geq} {c_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
+3 z &
+4 w & = & 1 \\ 2 x &
+3 y &
+4 z &
+5 w & = & 7 \\ x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x &
+5 y &
+5 z &
+ w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x
-a y
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\
a x
\, \, \, \, \, \, \, \,
+3 z & = & 3 \\
-{ \frac{ 1 }{ 3 } } x
+ y
+ z & = & 2 \,
\end{matrix}} { }
über den
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche
\mathl{a}{} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
5 x
\, \, \, \, - y
+7 z & = & 6 \\
3 x
+6 y
+3 z & = & -2 \\
8 x
+8 y
+7 z & = & 3 \,
\end{matrix}} { }
mit dem
\definitionsverweis {Einsetzungsverfahren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \geq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{} {}