Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 5

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$ , die durch die beiden Punkte ${}(-4,3)$ und ${}(5,-6)$ verläuft.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}

Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}{\mathrm {i} }x&+y&+(2-{\mathrm {i} })z&=&2\\&7y&+2{\mathrm {i} }z&=&-1+3{\mathrm {i} }\\&&(2-5{\mathrm {i} })z&=&1\,.\end{matrix}}

Aufgabe

Es sei ${}K$ der in Beispiel 3.8 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in ${}K$ das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}

Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl

{}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

Der Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$ besteht aus allen reellen Zahlen der Form ${}a+b{\sqrt {3}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$ . Das inverse Element zu ${}a+b{\sqrt {3}}\neq 0$ ist ${}{\frac {a}{a^{2}+3b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+3b^{2}}}{\sqrt {3}}$ .

Aufgabe *

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$ :

{}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}4x+7y+3z&=&4\\11x+9y+13z&=&9\\6x+8y+5z&=&2\,\end{matrix}}

mit dem Einsetzungsverfahren.

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}5x+6y+2z&=&6\\4x+8y+9z&=&5\\11x+5y+7z&=&8\,\end{matrix}}

mit dem Gleichsetzungsverfahren.

Aufgabe *

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ , das aus den beiden Gleichungen
${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

und

${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als ${}1$ ist.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

Aufgabe *

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	${}6$	${}2$	${}3$
${}P_{2}$	${}4$	${}1$	${}2$
${}P_{3}$	${}0$	${}5$	${}2$
${}P_{4}$	${}2$	${}1$	${}5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}6$	${}4$	${}7$	${}5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}12$	${}9$	${}13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Aufgabe

Es sei

{}D={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}\,

eine Diagonalmatrix und ${}c={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein ${}n$ -Tupel über einem Körper ${}K$ , und es sei ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

{}Dx=c\,,

und wie löst man es?

Aufgabe

Löse die linearen Gleichungssysteme

{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7&4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}

simultan.

Aufgabe

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

{}x\geq 0\,,

{}y\geq 0\,,

{}x+y\leq 1\,,

gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

Aufgabe

Es sei

{}a_{1}x+b_{1}y\geq c_{1}\,,

{}a_{2}x+b_{2}y\geq c_{2}\,,

{}a_{3}x+b3y\geq c_{3}\,,

ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung ${}\geq$ durch ${}\leq$ ersetzt?

Aufgabe *

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.

Aufgabe *

Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter ${}a\in \mathbb {R}$ den Lösungsraum ${}L_{a}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ des linearen Gleichungssystems

{}5x+ay+(1-a)z=0\,,

{}2ax+a^{2}y+3z=0\,.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$ .

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$ , auf der die drei Punkte

(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)

liegen.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}2x-ay\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\ax\,\,\,\,\,\,\,\,+3z&=&3\\-{\frac {1}{3}}x+y+z&=&2\,\end{matrix}}

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von ${}a\in \mathbb {R}$ . Für welche ${}a$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?