Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ist genau dann eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element, und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^0
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{m+n}
}
{ = }{ g^m g^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von $\Z $ genau die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d
}
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
${\mathbb F}_5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 44.7.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Potenzieren
\maabbeledisp {} {G} {G
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine additiv geschriebene \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass die Negation, also die Abbildung \maabbeledisp {} {G} {G } {x} {-x } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Für welche reellen Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die zugehörige polynomiale Abbildung
\maabbeledisp {} {(\R,0,+)} {(\R,0,+)
} {x} { P(x)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}
b) Für welche reellen Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist allenfalls $0$ eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
\maabbeledisp {} { (\R^{\times}, 1, \cdot) } {(\R^{\times}, 1, \cdot)
} {x} {Q(x)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller invertierbaren
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.
b) Zeige
\zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,}
dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { M } { K^{\times}
} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } { ad-bc
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }
} {\pi} { M_\pi
} {,}
die einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ihre
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
$M_\pi$ zuordnet, ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {hf
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Beschreibe das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
und den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung.
}
{} {}
Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a + b
}
{ \defeq} { (a+b) \mod n
}
{ =} { \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {assoziative}{}{}
Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_{\geq 2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d)
}
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 44.15
beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} { \Z/(d)} { \Z
} {r} { r
} {,}
\betonung{kein}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
sämtlicher Elemente in der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(100)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} {G
} {g} {hgh^{-1}
} {,}
eine
\definitionsverweis {Gruppenautomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 8x-4y+14z-7w & -28x+16y-49z+28w \\ 2x-y+4z-2w & -7x+4y-14z+8w \end{pmatrix} } {.} Zeige, dass es sich dabei um einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} handelt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{a,b,c,d}{} reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ad-bc
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) } } { \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }
} { \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} ad x -acy +bd z -bcw & - ab x+ a^2 y- b^2 z+ab w \\ cdx-c^2y+d^2 z-cdw & -bc x+acy -bd z+ ad w \end{pmatrix}
} {}
ein
\definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, und es seien
\mathkor {} {\operatorname{Perm} \,( T)} {und} {\operatorname{Perm} \,( M)} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{ (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf $M$, siehe
Aufgabe 3.10).}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Perm} \,( T) } { \operatorname{Perm} \,( M)
} {\varphi} { \tilde{\varphi }
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} (x)
}
{ =} { \begin{cases} \varphi(x),\, \text{falls } x \in T, \\ x \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element und sei
\maabbeledisp {\varphi} { G } { G
} { h } { hg
} {,}
die Multiplikation mit $g$. Zeige, dass $\varphi$ bijektiv ist, und dass $\varphi$ genau dann ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ e_G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gibt es \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} {(\R,+,0)} {(\R,+,0) } {,} die nicht $\R$-linear sind?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3 (1+2)}
{
Es seien $G_1 , \ldots , G_n$
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {G_1 \times \cdots \times G_n} { . }
b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {H} {G_1 \times \cdots \times G_n
} {x} { \varphi(x)= (\varphi_1(x) , \ldots , \varphi_n(x))
} {,}
genau dann ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist, wenn alle Komponenten $\varphi_i$ Gruppenhomomorphismen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
sämtlicher Elemente in der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/(12)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 3.8
an. Zu einer reellen Zahl $x$ bezeichnet
\mathl{\lfloor x \rfloor}{} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist.
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 3.7
definierten Verknüpfung, die nach
Aufgabe 3.8
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Q} {M
} {q} { q - \lfloor q \rfloor
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des Potenzierens
\maabbeledisp {} {\R^\times} { \R^\times
} { z } { z^n
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige, dass es keinen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G
} {}
in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(r)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}