Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Vektorräume mit Skalarprodukt}
Im $\R^n$ kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des \stichwort {Skalarprodukts} {} präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für
\mathkor {} {\R} {bzw.} {{\mathbb C}} {}
das Symbol ${\mathbb K}$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet $\overline{ z }$ die
\definitionsverweis {konjungiert-komplexe}{}{}
Zahl, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einfach die Zahl selbst.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Ein \definitionswort {Skalarprodukt}{} auf $V$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {} { V \times V } { {\mathbb K}
} { (v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle
} {,}
mit folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \lambda_1x_1+\lambda_2x_2 , y \right\rangle
}
{ =} { \lambda_1 \left\langle x_1 , y \right\rangle + \lambda_2\left\langle x_2 , y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2,y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle x , \lambda_1 y_1 + \lambda_2y _2 \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \lambda_1 } \left\langle x , y_1 \right\rangle + \overline{ \lambda_2 } \left\langle x , y_2 \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1,\lambda_2
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y_1,y_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \overline{ \left\langle w , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall \stichwort {Bilinearität} {} \zusatzklammer {das ist nur eine andere Bezeichnung für \definitionsverweis {multilinear}{}{,} wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist} {} {,} \stichwort {Symmetrie} {} und \stichwort {positive Definitheit} {.} Im komplexen Fall spricht man von \stichwort {sesquilinear} {} und von \stichwort {hermitesch} {.} Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.
\inputbeispiel{}
{
Auf dem $\R^n$ ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^n \times \R^n } { \R
} {(v,w)= ({ \left( v_1 , \ldots , v_n \right) },{ \left( w_1 , \ldots , w_n \right) }) } { \sum_{i=1}^n v_iw_i
} {,}
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{,}
das man das
\definitionswortenp{Standard\-skalarprodukt}{} nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.
}
Beispielsweise ist im $\R^3$ mit dem Standardskalarprodukt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\4\\ 6 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { 3\cdot(-1) - 5 \cdot 4 +2 \cdot 6
}
{ =} { -11
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {reeller}{}{,} \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} der mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} versehen ist, heißt \definitionswort {euklidischer Vektorraum}{.}
}
Zu einem Vektorraum $V$ mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \cong }{\R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des $\R^m$ nach $U$ übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun.
\inputdefinition
{}
{
Das auf dem ${\mathbb C}^n$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle u , v \right\rangle
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1 }^n u_i \overline{ v_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
heißt
\definitionswort {\zusatzklammer {komplexes} {} {} Standardskalarprodukt}{.}
}
Beispielsweise ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle \begin{pmatrix} 4-3 { \mathrm i} \\2+7 { \mathrm i} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2+5 { \mathrm i} \\3-6 { \mathrm i} \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { (4-3 { \mathrm i}) \cdot \overline{ -2+5 { \mathrm i} } + (2+7 { \mathrm i}) \cdot \overline{ 3-6 { \mathrm i} }
}
{ =} { (4-3 { \mathrm i} ) \cdot (-2-5 { \mathrm i}) + (2+7 { \mathrm i}) \cdot(3+6 { \mathrm i})
}
{ =} { -23 - 14 { \mathrm i} -36 +33 { \mathrm i}
}
{ =} { -59+19 { \mathrm i}
}
}
{}
{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Wenn man einen komplexen Vektorraum $V$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) }} { }
ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe
Aufgabe 31.3.
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} {
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) } + { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) }
}
{ =} {
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) } - { \mathrm i}
\operatorname{Re} \, { \left( { \mathrm i} \left\langle v , w \right\rangle \right) }
}
{ =} {
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) } - { \mathrm i}
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle i v , w \right\rangle \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein abgeschlossenes reelles Intervall mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { { \left\{ f :[a,b] \rightarrow {\mathbb C} \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ \defeq} { \int_a^b f(t) \overline{ g(t) } dt
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und erhalten damit ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf $V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle f_1+f_2 , g \right\rangle
}
{ =} { \int_a^b (f_1(t) +f_2(t)) \overline{ g(t) } dt
}
{ =} { \int_a^b f_1(t) \overline{ g(t) } dt + \int_a^b f_2(t) \overline{ g(t) } dt
}
{ =} { \left\langle f_1 , g \right\rangle + \left\langle f_2 , g \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die positive Definitheit folgt so: Wenn $f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(s)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(s) }
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Stetigkeit von $f$ gibt es dann auch eine Umgebung
\mathl{[ s-\epsilon, s + \epsilon ] \cap [a,b]}{} der Länge
\mathl{\geq \epsilon}{,} auf der überall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(t) }
}
{ \geq} { c
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein gewisses
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {man kann
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c
}
{ = }{ { \frac{ \betrag { f(s) } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} nehmen} {} {.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , f \right\rangle
}
{ =} { \int_a^b \betrag { f (t) }^2 dt
}
{ \geq} { \int_{ {\max { \left( a , s - \epsilon \right) } } }^{ {\min { \left( b , s + \epsilon \right) } } } \betrag { f (t) }^2 dt
}
{ \geq} { \epsilon c^2
}
{ >} {0
}
}
{}{}{}
positiv.
}
\zwischenueberschrift{Norm}
Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Dann nennt man zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} {\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Norm}{} von $v$.
}
Das Skalarprodukt
\mathl{\left\langle v , v \right\rangle}{} ist stets reell und nicht negativ und somit ist die Quadratwurzel eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Für einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist es gleichgültig, ob man die Norm direkt oder über den zugrunde liegenden reellen Vektorraum bestimmt, siehe
Aufgabe 31.11.
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt die \stichwort {Cauchy-Schwarzsche Abschätz\-ung} {,} nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {w} \Vert
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit hat man die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{0
}
{ \leq} { \left\langle v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w , v - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle w , v \right\rangle - \frac{ \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle v , w \right\rangle + \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^4 } \left\langle w , w \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {w} \Vert^2 } \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } - \frac{ \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 } \left\langle v , w \right\rangle + \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \left\langle v , w \right\rangle \overline{ \left\langle v , w \right\rangle } }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left\langle v , v \right\rangle - \frac{ \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }^2 }{ \Vert {w} \Vert^2 }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Multiplikation mit
\mathl{\Vert {w} \Vert^2}{} und Wurzelziehen ergibt das Resultat.
\inputfaktbeweis
{Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann gelten für die zugehörige
\definitionsverweis {Norm}{}{}
folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des
\definitionsverweis {Skalarprodukts}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Multiplikativität folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle \lambda v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} { \lambda \left\langle v , \lambda v \right\rangle
}
{ =} {\lambda \overline{ \lambda } \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} { \betrag { \lambda } ^2 \Vert {v} \Vert^2
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {v+w} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v+w , v+w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 + \left\langle v , w \right\rangle + \overline{ \left\langle v , w \right\rangle }
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2
\operatorname{Re} \, { \left( \left\langle v , w \right\rangle \right) }
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert^2 + \Vert {w} \Vert^2 +2 \betrag { \left\langle v , w \right\rangle }
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund von
Satz 31.8
ist dies
\mathl{\leq { \left( \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert \right) }^2}{.} Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.}
{}
Mit der folgenden Aussage, der \stichwort {Polarisationsformel} {,} kann man ein Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren.
{Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und der zugehörigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v} \Vert^2 - \Vert {w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \Vert {v+w} \Vert^2 - \Vert {v-w} \Vert^2 + { \mathrm i} \Vert {v+ { \mathrm i} w} \Vert^2 - { \mathrm i} \Vert {v- { \mathrm i} w} \Vert^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.10. }
\zwischenueberschrift{Normierte Vektorräume}
Aufgrund von Lemma 31.9 ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Vert {-} \Vert} {V} {\R
} {v} { \Vert {v} \Vert
} {,}
heißt
\definitionswort {Norm}{,}
wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v+w} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {v} \Vert + \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
heißt
\definitionswort {normierter Vektorraum}{,}
wenn auf ihm eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert}{} definiert ist.
}
Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die \stichwort {euklidische Norm} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Standardskalarprodukt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} { \sqrt{ \sum_{i = 1 }^n v_i^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Im ${\mathbb K}^n$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {x} \Vert_{\rm max}
}
{ \defeq} { {\max { \left( \betrag { x_i } , i = 1 , \ldots , n \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
definiert, die die \stichwort {Maximumsnorm} {} heißt.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Manhattan_distance.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Summenmetrik heißt auch \stichwort {Taxi-Metrik} {.} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.} }
\bildlizenz { Manhattan distance.svg } {} {Psychonaut} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Im ${\mathbb K}^n$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mid\mid\! {x} \! \mid \mid_{\operatorname{sum} }
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
definiert, die die \stichwort {Summennorm} {} heißt.
}
Zu einem Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
in einem normierten Vektorraum $V$ nennt man den Vektor
\mathl{{ \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } }}{} den zugehörigen \stichwort {normierten Vektor} {.} Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm $1$. Der Übergang zum normierten Vektor heißt \stichwort {Normierung} {.}
\zwischenueberschrift{Normierte Räume als metrische Räume}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung
\maabb {d} { M \times M } { \R
} {}
heißt \definitionswort {Metrik}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Distanzfunktion}{}} {} {,}
wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {Definitheit} {} {,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ = }{ d { \left( y,x \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Symmetrie} {} {,}
und
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x,y \right) }
}
{ \leq }{ d { \left( x,z \right) } + d { \left( z,y \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Dreiecksungleichung} {} {.}
}
Ein \definitionswort {metrischer Raum}{} ist ein Paar
\mathl{(M,d)}{,} wobei $M$
eine Menge und
\maabb {d} { M \times M } {\R
} {}
eine Metrik ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Auf einem
\definitionsverweis {normierten Vektorraum}{}{}
$V$ mit Norm $\Vert {-} \Vert$ definiert man die
\definitionswort {zugehörige Metrik}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(v,w)
}
{ \defeq} { \Vert {v-w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Dies ist in der Tat eine Metrik.
{Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {normierter Vektorraum}{}{}
$V$ ist durch die
\definitionsverweis {zugehörige Metrik}{}{}}
\faktfolgerung {ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 31.17. }
Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein \stichwort {metrischer Raum} {.}
\inputbemerkung
{}
{
Ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {normierten Vektorraum}{}{}
$V$ wird zu einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{,}
indem man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(P,Q)
}
{ =} { \Vert { \overrightarrow{ P Q } } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzt. Diese Metrik ist invariant unter
\definitionsverweis {Translationen}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Dann ist $T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_T(x,y)
}
{ \defeq} { d(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt. Diese Metrik heißt die \stichwort {induzierte Metrik} {.}
}
Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum.