Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
und $X$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Zeige, dass die Menge $\mathcal{L}^p(X)$ der
$p$-\definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{}
ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{.}
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {messbare Funktion}{}{}
\maabb {f} {X} { {\mathbb K}
} {}
folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall.
}{Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \betrag { f }^p d \mu
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_X \betrag { f }^p d \mu
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge und sei $L^2(U, \lambda^n)$ der zugehörige
$L^2$-\definitionsverweis {Raum}{}{.}
Zeige, dass es für jede Funktionsklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L^2(U, \lambda^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Repräsentanten gibt, der in keinem Punkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für einen $\sigma$-\definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} die Identität auf dem \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ aller beschränkten \definitionsverweis {integrierbaren Funktionen}{}{} im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der \definitionsverweis {Supremumsnorm}{}{} und den Zielraum mit der $L^1$-\definitionsverweis {Halbnorm}{}{} versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.
}
{} {}
Für die beiden folgenden Aufgaben vergleiche
Beispiel 31.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Beispiel 31.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf
\mathl{]0,1]}{} die Funktion $x^{-1}$ für kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$p$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf
\mathl{\R_{\geq 1}}{} die Funktion $x^{-1}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
$p$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{,}
aber für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$p$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {endlicher Maßraum}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{p
}
{ \leq }{ q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal L}^q(X)
}
{ \subseteq }{ {\mathcal L}^p(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Auswertung
\maabbeledisp {} { {\mathcal L}^p(X) } { {\mathbb K}
} {f} {f(x)
} {,}
im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wenn ${\mathcal L}^p(X)$ mit der
$p$-\definitionsverweis {Halbnorm}{}{}
versehen ist.
} {Zeige, dass die Auswertung an $x$ auf $L^p(X)$ nicht wohldefiniert ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(X, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $f,g$ messbare Funktionen und seien $f_n$ und $g_n$ Folgen von messbaren Funktionen auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ = }{ g_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fast überall. Zeige, dass $f_n$ fast überall gegen $f$ genau dann konvergiert, wenn $g_n$ fast überall gegen $g$ konvergiert.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{p
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auf dem $\R^n$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert_p
}
{ \defeq} { { \left( v_1^p + \cdots + v_n^p \right) }^{1/p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
keine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{.}
Zeige, dass es
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine natürliche Untervektorraumbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L^p(Z)
}
{ \subseteq} {L^p(X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, die die
$p$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
erhält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \R_{\geq 1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe ein Beispiel für einen
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßraum}{}{}
$M$ und eine messbare Funktion
\maabb {f} { M } { \R
} {,}
die
$p$-\definitionsverweis {integrierbar}{}{}
ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ p
}
{ < }{ \alpha
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nicht $p$-integrierbar ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ \alpha
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und die für kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$p$-\definitionsverweis {summierbar}{}{}
ist.
}
{} {}