Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 16
- Übungsaufgaben
Es sei eine reelle Zahl und ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der - integrierbaren Funktionen ein - Vektorraum ist.
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass für eine messbare Funktion folgende Aussagen äquivalent sind.
- Es ist fast überall.
- Es gibt ein
mit
- Für alle
ist
Zeige, dass für einen - endlichen Maßraum die Identität auf dem reellen Vektorraum aller beschränkten integrierbaren Funktionen im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn man den Ausgangsraum mit der Supremumsnorm und den Zielraum mit der - Halbnorm versieht. Zeige ebenso, dass die Identität bei vertauschten Rollen der Normen ebenfalls nicht stetig sein muss.
Für die beiden folgenden Aufgaben vergleiche
Beispiel 31.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Beispiel 31.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Zeige, dass auf die Funktion für kein - integrierbar ist.
Zeige, dass auf die Funktion für nicht - integrierbar, aber für jedes - integrierbar ist.
Es sei ein endlicher Maßraum und sei . Zeige .
Es sei ein Maßraum und . Es seien messbare Funktionen und seien und Folgen von messbaren Funktionen auf . Es sei fast überall und es sei fast überall. Zeige, dass fast überall gegen genau dann konvergiert, wenn fast überall gegen konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein - endlicher Maßraum und eine messbare Teilmenge. Zeige, dass es (zu ) eine natürliche Untervektorraumbeziehung
gibt, die die - Norm erhält.
Aufgabe (3 Punkte)
Sei . Man gebe ein Beispiel für einen - endlichen Maßraum und eine messbare Funktion , die - integrierbar ist für jedes und nicht -integrierbar ist für .
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die gegen konvergiert und die für kein - summierbar ist.
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