Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
$Z$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} stetige Abbildungen von $X$ nach $Z$. Zeige, dass diese Familie
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} stetige reellwertige Funktionen auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ c_1f_1 + \cdots + c_nf_n \mid \betrag { c_i } \leq c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge von linearen reellen Polynomen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ cx+d \mid \betrag { c } , \betrag { d } \leq 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Funktionen auf dem Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{.} Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
explizit endlich viele
\definitionsverweis {offene Bälle}{}{}
\mathl{U { \left( f,\epsilon \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die $T$ überdecken.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Funktionenmenge
\mathdisp {{ \left\{ f:X \rightarrow Y \mid f \text{ ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante } L \right\} }} { }
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene Punkte aus einem
\definitionsverweis {reellen Intervall}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_1 , \ldots , y_n
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Funktionenmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ f:[a,b] \rightarrow \R \text{ stetig } \mid f(x_i) = y_i \text{ für alle } i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{}
ist.
}{Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus $T$ betrachtet?
}{Wie sieht es aus, wenn man nur die Polynome aus $T$ vom Grad $\leq n$ betrachtet?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ { \frac{ 1 }{ n } } \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ \defeq} { { \left\{ f:M \rightarrow \R \mid f \text{ stetig und } f(0) = 0 \right\} }
}
{ \subseteq} { C^0(M,\R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
versehen mit der Maximumsnorm.
\aufzaehlungdrei{Ist $T$ abgeschlossen in $C^0(M,\R)$?
}{Ist $T$
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{?}
}{Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild zu
\maabbeledisp {} {T} {\R
} {f} {f(x)
} {,}
beschränkt?
}
}
{} {}
Wir verallgemeinern den Satz von Arzelà-Ascoli auf einen lokal kompkaten Raum.
Ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} $X$ heißt \definitionswort {lokal kompakt}{,} wenn jeder Punkt eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {Umgebung}{}{} besitzt.
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {kompakt konvergiert}{,} wenn sie auf jeder
\definitionsverweis {kompakten Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{.}
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann versteht man unter der
\definitionswort {Topologie der kompakten Konvergenz}{}
auf
\mathl{C(X,{\mathbb K})}{} die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
unter der natürlichen Abbildung
\maabbeledisp {} { C(X,{\mathbb K}) } {\prod_{n \in \N} C(A_n, {\mathbb K} )
} {f} { { \left( f {{|}}_{A_n} \right) }_{n \in \N}
} {,}
wobei die
\mathl{C(A_n, {\mathbb K} )}{} mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
versehen sind und der Produktraum mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} unabhängig von der gewählten kompakten Ausschöpfung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {kompakten Ausschöpfung}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {X} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann in der \definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {kompakt konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {lokal kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
besitze, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{.}
Zeige, dass $T$ genau dann kompakt ist, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{$T$ ist
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}
}{$T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{.}
}{Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {lokal kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {kompakte Ausschöpfung}{}{}
besitze, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X,{\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
versehen mit der
\definitionsverweis {Topologie der kompakten Konvergenz}{}{.}
Es seien die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {$T$ ist
\definitionsverweis {gleichgradig stetig}{}{,}
} {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Auswertungsbild
\mathl{{ \left\{ f(x) \mid f \in T \right\} }}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{,}
}
erfüllt. Zeige, dass jede Folge in $T$ eine
\definitionsverweis {kompakt konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Abb} \, { \left( X , {\mathbb K} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$\R$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{,}
die die Punkte aus $X$
\definitionsverweis {trennt}{}{.}
Zeige, dass es zu Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $X$ und zu vorgegebenen Werten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen $P_n$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_{n+1} (t)
}
{ =} { P_n(t) + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t-P_n(t)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge auf $[0,1]$
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
gegen $\sqrt{t}$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen $P_n$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_{n+1} (t)
}
{ =} { P_n(t) + { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( t-P_n(t)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge auf $[0,1]$
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen $\sqrt{t}$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei ein Stift gegeben, der einen Strich mit der Dicke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeichnet. Zeige, dass es ein reelles Polynom derart gibt, dass wenn man seinen Graphen mit dem Stift nachfährt, auch den Graphen von $f$ vollständig überdeckt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Diskutiere Beziehungen zwischen den polynomialen Interpolationen von $f$, den Approximationen durch Taylor-Polynome und dem Satz von Weierstrass.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} auf $\R$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} auf $]0,1[$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ C(X, {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{,}
die die Punkte aus $X$
\definitionsverweis {trennt}{}{}
und die mit jeder Funktion auf ihre
\definitionsverweis {komplex-konjugierte}{}{}
Funktion enthält. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ T }
}
{ =} { C(X, {\mathbb C} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die Menge von quadratischen reellen Polynomen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ ax^2+bx+c \mid \betrag { a } , \betrag { b } , \betrag { c } \leq 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Funktionen auf dem Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{.} Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
explizit endlich viele
\definitionsverweis {offene Bälle}{}{}
\mathl{U { \left( f,\epsilon \right) }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die $T$ überdecken.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq} { C^b(X, {\mathbb K} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
der Algebra der beschränkten und stetigen Funktionen auf $X$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
$\overline{ A }$ ebenfalls eine Unteralgebra von
\mathl{C^b(X, {\mathbb K} )}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe explizit ein reelles Polynom an, das auf dem Intervall
\mathl{[-1,1]}{} zur Betragsfunktion den maximalen Abstand ${ \frac{ 1 }{ 10 } }$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für beschränkte \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} auf $]0,1[$ gilt.
}
{} {}