Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt

Satz von Arzelà-Ascoli

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen