Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt

Satz von Arzelà-Ascoli

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und  $T\subseteq C(X,𝕂)$,  versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist $T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. $T$ ist abgeschlossen.
2. $T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt  $x\in X$  ist das Auswertungsbild $\{f(x)\mid f\in T\}$ beschränkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen