Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Wir erinnern an einige Konzepte, die aus der linearen Algebra bekannt sein dürften. Wichtig ist dabei, dass sie für jeden Vektorraum mit einem Skalarprodukt definiert sind, auch wenn in der linearen Algebra der endlichdimensionale Fall im Vordergrund steht.
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , u \right\rangle= 0 \text{ für alle } u \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {orthogonale Komplement}{} von $U$.
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $V$ heißt \definitionswort {Orthogonalbasis}{,} wenn
\mathdisp {\left\langle v_i , v_j \right\rangle = 0 \text{ für } i \neq j} { }
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über ${\mathbb K}$ mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} $\left\langle - , - \right\rangle$ und sei $U \subseteq V$ ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $U$. Zeige, dass ein Vektor
\mathl{v \in V}{} genau dann zum
\definitionsverweis {orthogonalen Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$ gehört, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u_i \right\rangle
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
von $V$. Zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei der von
\mathbed {v_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
mit $U_J$ bezeichnet. Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
von $U_J$ gleich
\mathl{U_{I \setminus J}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und seien
\mathl{U_1,U_2 \subseteq V}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {orthogonalen Komplemente}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Zu
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0^{ { \perp } }
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^{ { \perp } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass zu einem fixierten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbeledisp {} {V} { {\mathbb K}
} {v} { \left\langle v , w \right\rangle
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {V \times V} { {\mathbb K} } {(v,w)} { \left\langle v , w \right\rangle } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, wenn $V \times V$ die \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} trägt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Hilbertraum}{}{} ist, wenn er als reeller Vektorraum ein Hilbertraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraumes}{}{}
$V$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$ ein
\definitionsverweis {abgeschlossener}{}{}
Untervektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossener}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{} und sei $V'$ der \definitionsverweis {stetige Dualraum}{}{} von $V$. Zeige, dass die natürliche \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V} {V' } {w} { { \left( v \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) } } {,} eine \definitionsverweis {isometrische}{}{} \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} von Hilberträumen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(X, {\mathcal A } ,\mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und sei $L^2(X)$ der zugehörige Vektorraum der
\definitionsverweis {quadratintegrierbaren Funktionen}{}{}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L^2(T)
}
{ \subseteq} { L^2(X)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {abgeschlossener}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist und beschreibe die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
\maabbdisp {} {L^2(X)} {L^2(T)
} {.}
Wie kann man
\mathl{{ \left( L^2(T) \right) } ^{ { \perp } }}{} beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(X, {\mathcal A } ,\mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und sei $L^2(X)$ der zugehörige Vektorraum der
\definitionsverweis {quadratintegrierbaren Funktionen}{}{}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare}{}{}
Teilmenge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\maabbeledisp {\varphi_T} {L^2(X)} { {\mathbb K}
} {f} { \int_Tf d \mu
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
ist.
} {Man gebe explizit ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ L^2(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, dass $\varphi_T$ im Sinne von
Korollar 21.15
beschreibt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { W
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {vollständige}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Es bezeichne
\mathl{p^V_U}{} die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $U$ auf $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p^V_U
}
{ =} { p_U^W \circ p_W^V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $(X, {\mathcal A } ,\mu)$ ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und sei $L^2(X)$ der zugehörige Vektorraum der
\definitionsverweis {quadratintegrierbaren Funktionen}{}{}
auf $X$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {messbare}{}{}
Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T_1), \mu (T_2)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den zugehörigen Indikatorfunktionen
\mathkor {} {e_{T_1}} {bzw.} {e_{T_2}} {.}
Zeige, dass diese Funktionen genau dann
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
zueinander sind, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu (T_1 \cap T_2)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $\N$ mit dem
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{}
versehen und sei $T$ die Menge der Standardvektoren
\mathbed {e_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
in $L^2(\N)$. Beweise
Lemma 21.16
in diesem Fall direkt.
}
{} {}