Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Wir erinnern an einige Konzepte, die aus der linearen Algebra bekannt sein dürften. Wichtig ist dabei, dass sie für jeden Vektorraum mit einem Skalarprodukt definiert sind, auch wenn in der linearen Algebra der endlichdimensionale Fall im Vordergrund steht.

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}U$. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum orthogonalen Komplement ${}U^{\perp }$ gehört, wenn

${}\left\langle v,u_{i}\right\rangle =0\,$

für alle ${}i\in I$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthogonalbasis von ${}V$. Zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ sei der von ${}v_{i}$, ${}i\in J$, erzeugte Untervektorraum mit ${}U_{J}$ bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von ${}U_{J}$ gleich ${}U_{I\setminus J}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

${}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist ${}0^{\perp }=V$ und ${}V^{\perp }=0$.
3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(U^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass zu einem fixierten Vektor ${}w\in V$ die Abbildung

$V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Zeige, dass die Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

stetig ist, wenn ${}V\times V$ die Produkttopologie trägt.

Aufgabe

Zeige, dass ein ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er als reeller Vektorraum ein Hilbertraum ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ eines ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraumes ${}V$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er abgeschlossen in ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ein abgeschlossener Untervektorraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum. Zeige

${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei ${}V'$ der stetige Dualraum von ${}V$. Zeige, dass die natürliche lineare Abbildung

$V\longrightarrow V',\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$

eine isometrische Isomorphie von Hilberträumen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine messbare Teilmenge. Zeige, dass

${}L^{2}(T)\subseteq L^{2}(X)\,$

ein abgeschlossener Untervektorraum ist und beschreibe die orthogonale Projektion

$L^{2}(X)\longrightarrow L^{2}(T).$

Wie kann man ${}{\left(L^{2}(T)\right)}^{\perp }$ beschreiben?

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine messbare Teilmenge mit ${}\mu (T)<\infty$.

1. Zeige, dass

   $\varphi _{T}\colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto \int _{T}fd\mu ,$

   eine stetige Linearform ist.

2. Man gebe explizit ein ${}g\in L^{2}(X)$ an, dass ${}\varphi _{T}$ im Sinne von Korollar 21.15 beschreibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

${}U\subseteq W\subseteq V\,$

vollständige Untervektorräume. Es bezeichne ${}p_{U}^{V}$ die orthogonale Projektion von ${}U$ auf ${}V$. Zeige

${}p_{U}^{V}=p_{U}^{W}\circ p_{W}^{V}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und sei ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Vektorraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ${}X$. Es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq X$ messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{1}),\mu (T_{2})<\infty$ mit den zugehörigen Indikatorfunktionen ${}e_{T_{1}}$ bzw. ${}e_{T_{2}}$. Zeige, dass diese Funktionen genau dann orthogonal zueinander sind, wenn ${}\mu (T_{1}\cap T_{2})=0$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {N}$ mit dem Zählmaß versehen und sei ${}T$ die Menge der Standardvektoren ${}e_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, in ${}L^{2}(\mathbb {N} )$. Beweise Lemma 21.16 in diesem Fall direkt.