Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(1)
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(2)
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des $\R^n$.
\aufzaehlungvier{\definitionsverweis {Summennorm}{}{,}
}{\definitionsverweis {euklidische Norm}{}{}
\zusatzklammer {$L^2$-Norm} {} {,}
}{\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
}{$L^p$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} verschiedene reelle Zahlen und seien
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} reelle Zahlen. Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_i)
}
{ = }{ y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des $\R^n$.
\aufzaehlungvier{\definitionsverweis {Summennorm}{}{,}
}{\definitionsverweis {euklidische Norm}{}{}
\zusatzklammer {$L^2$-Norm} {} {,}
}{\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
}{$L^p$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Wann gibt es eine \anfuehrung{geschlossene Formel}{,} wann nicht? Wie sieht es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summe der kleinsten Quadrate mit Lemma 22.2 unter Verwendung einer \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von $U$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise Satz 22.5 analytisch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der \definitionsverweis {Summennorm}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} verschiedene reelle Zahlen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $y_1 , \ldots , y_n$ reelle Zahlen. Bestimme analytisch die optimale affin-lineare Approximation $ax+b$ für den Datensatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_i)
}
{ = }{ y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich der
$p$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
im $\R^n$ für $p$ eine positive gerade Zahl.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} verschiedene reelle Zahlen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und $y_1 , \ldots , y_n$ reelle Zahlen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{x}
}
{ = }{ { \frac{ \sum_{i = 1}^n x_i }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bar{y}
}
{ = }{ { \frac{ \sum_{i = 1}^n y_i }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{( \bar{x},\bar{y} )}{} auf der optimalen linearen Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für den Datensatz liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten
\mathl{(2,8),\, (5,14),\, (7,20)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten
\mathl{(x_1,0) , \ldots , (x_{i-1},0),(x_i,1), (x_{i+1},0) , \ldots , (x_n,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle
\wertetabelledreiausteilzeilen { $t$ }
{\mazeileunddrei {0} {1} {2} }
{ $P(t)$ }
{\mazeileunddrei {(5,1)} {(5,2)} {(4,3)} }
vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Kreisbewegung um den Nullpunkt mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste, die sich zum Zeitpunkt $0$ auf der $x$-Achse befinden müsste. Die Bewegung sollte also von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { \left( a \cos \left( ct \right) , \, a \sin \left( ct \right) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Bestimme $(a,c)$ derart, dass die zugehörige Kreisbewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
in einem
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
$V$. Zeige, dass man das System zu einem
\definitionsverweis {vollständigen Orthonormalsystem}{}{}
ergänzen kann.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verallgemeinert
Lemma 22.2.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
mit dem davon
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
$U$ und dem zugehörigen
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \overline{ U }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_W(v)
}
{ =} { \sum_{i \in I} \left\langle v , v_i \right\rangle v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {vollständiges Orthonormalsystem}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{}
$V$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Vektoren mit den Darstellungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \sum_{i \in I} c_iv_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ \sum_{i \in I} d_i v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i \in I} c_i \overline{ d_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei \definitionsverweis {separable}{}{} \definitionsverweis {Hilberträume}{}{} von unendlicher Dimension zueinander \definitionsverweis {isometrisch}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten
\mathl{(-2,10),\, (3,5),\, (4,8),\, (7,15)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die optimale Approximation durch ein quadratisches Polynom vom Grad $\leq 2$ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten
\mathl{(-1,1),\, (0,0),\, (1,1),\, (2,10)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle
\wertetabellevierausteilzeilen { $t$ }
{\mazeileundvier {0} { { \frac{ \pi }{ 2 } } } { \pi } { { \frac{ 3 \pi }{ 2 } }} }
{ $P(t)$ }
{\mazeileundvier {(9,0) } {(2,30)} {(-21,-1)} {(1,-32)} }
vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Bewegung auf einer Ellipse mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste und die Bewegung durch eine Funktion der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ =} { \left( a \cos \left( ct \right) , \, b \sin \left( ct \right) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
modelliert werden sollte. Bestimme $(a,b,c)$ derart, dass die zugehörige Bewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {unendlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Hilbertraum}{}{.} Zeige, dass $V$ keine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} besitzt.
}
{} {}