Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 22

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz  $f(0)=0$,   $f(1)=2$,   $f(2)=2$,  durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${ℝ}^n$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm ($L^2$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. $L^p$-Norm für  $p\ge 1$. 

Aufgabe

Es sei $x_1,\dots ,x_n$ verschiedene reelle Zahlen und seien $y_1,\dots ,y_n$ reelle Zahlen. Bestimme die optimale Approximation für den Datensatz  $f(x_i)=y_i$  durch eine konstante Funktion bezüglich der folgenden Normen des ${ℝ}^n$.

1. Summennorm,
2. euklidische Norm ($L^2$-Norm),
3. Maximumsnorm,
4. $L^p$-Norm für  $p\ge 1$. 

Wann gibt es eine „geschlossene Formel“, wann nicht? Wie sieht es bei  $n=1,2,3$  aus?

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summe der kleinsten Quadrate mit Lemma 22.2 unter Verwendung einer Orthonormalbasis von $U$.

Aufgabe *

Beweise Satz 22.5 analytisch.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Summennorm.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 22.4 die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der Maximumsnorm.

Aufgabe

Es seien $x_1,\dots ,x_n$ verschiedene reelle Zahlen,  $n\ge 2$,  und $y_1,\dots ,y_n$ reelle Zahlen. Bestimme analytisch die optimale affin-lineare Approximation $ax+b$ für den Datensatz  $f(x_i)=y_i$  bezüglich der $p$-Norm im ${ℝ}^n$ für $p$ eine positive gerade Zahl.

Aufgabe

Es seien $x_1,\dots ,x_n$ verschiedene reelle Zahlen,  $n\ge 2$,  und $y_1,\dots ,y_n$ reelle Zahlen. Es sei  $\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$  und  $\overline{y}=\frac{\sum _{i=1}^n{y}_i}{n}$.  Zeige, dass $(\overline{x},\overline{y})$ auf der optimalen linearen Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für den Datensatz liegt.

Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(2,8),(5,14),(7,20)$.

Aufgabe

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(x_1,0),\dots ,(x_{i-1},0),(x_i,1),(x_{i+1},0),\dots ,(x_n,0)$.

Aufgabe

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

$t$	$0$	$1$	$2$
$P(t)$	$(5,1)$	$(5,2)$	$(4,3)$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Kreisbewegung um den Nullpunkt mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste, die sich zum Zeitpunkt $0$ auf der $x$-Achse befinden müsste. Die Bewegung sollte also von der Form

$g(t)=(a\cos \left(ct\right),a\sin \left(ct\right))$

sein. Bestimme $(a,c)$ derart, dass die zugehörige Kreisbewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei $v_i$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem in einem $𝕂$-Hilbertraum $V$. Zeige, dass man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen kann.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert Lemma 22.2.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $𝕂$-Hilbertraum und sei $v_i$, $i\in I$, ein Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum $U$ und dem zugehörigen Abschluss  $W=\bar{U}$.  Dann gilt für die orthogonale Projektion

$p_W(v)=\sum _{i\in I}⟨v,v_i⟩v_i.$

Aufgabe

Es sei $v_i$, $i\in I$, ein vollständiges Orthonormalsystem in einem Hilbertraum $V$. Es seien  $v,w\in V$  Vektoren mit den Darstellungen  $v=\sum _{i\in I}{c}_i{v}_i$  und  $w=\sum _{i\in I}{d}_i{v}_i$.  Zeige

$⟨v,w⟩=\sum _{i\in I}{c}_i\overline{d_i}.$

Aufgabe

Zeige, dass zwei separable Hilberträume von unendlicher Dimension zueinander isometrisch isomorph sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die optimale affin-lineare Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(-2,10),(3,5),(4,8),(7,15)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die optimale Approximation durch ein quadratisches Polynom vom Grad $\le 2$ im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate für die Messdaten $(-1,1),(0,0),(1,1),(2,10)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Für die Bewegung eines Teilchens in der Ebene liegen zu verschieden Zeitpunkten die gemessenen Ortspunkte gemäß der Tabelle

$t$	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$
$P(t)$	$(9,0)$	$(2,30)$	$(-21,-1)$	$(1,-32)$

vor. Aus theoretischen Gründen ist klar, dass es sich um eine Bewegung auf einer Ellipse mit konstanter Geschwindigkeit handeln müsste und die Bewegung durch eine Funktion der Form

$g(t)=(a\cos \left(ct\right),b\sin \left(ct\right))$

modelliert werden sollte. Bestimme $(a,b,c)$ derart, dass die zugehörige Bewegung mit den Messdaten im Sinne der kleinsten Quadrate optimal übereinstimmt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $V$ ein unendlichdimensionaler $𝕂$-Hilbertraum. Zeige, dass $V$ keine Orthonormalbasis besitzt.