Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Der Umkehrsatz}
\inputfaktbeweis
{Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R^n} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Fourier-Transformierten}{}{}
$\hat{f}$ bzw. $\hat{g}$.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\R^n} f \hat{g} d \lambda^n
}
{ =} { \int_{\R^n} \hat{f} g d \lambda^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach
dem Satz von Fubini
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{\R^n} f \hat{g} d \lambda^n
}
{ =} { \int_{\R^n} f ( {\mathfrak u} )\hat{g} ( {\mathfrak u} ) d {\mathfrak u}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} f ( {\mathfrak u} ) \cdot { \left( \int_{\R^n} e^{- { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } g( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t} \right) } d {\mathfrak u}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n \times \R^n} e^{- { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } \cdot f ( {\mathfrak u} ) \cdot g( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t} d {\mathfrak u}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} g ( {\mathfrak t} ) \cdot { \left( \int_{\R^n} e^{- { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } f( {\mathfrak u} ) d {\mathfrak u} \right) } d {\mathfrak t}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_{\R^n} g ( {\mathfrak t} ) \cdot \hat{f} ( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t}
}
{ =} { \int_{\R^n} \hat{f} g d \lambda^n
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Umkehrsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Für eine
\definitionsverweis {stetige}{}{}
\definitionsverweis {beschränkte}{}{}
Funktion
\maabb {f} {\R^n} { {\mathbb C}
} {}}
\faktfolgerung {gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \hat{f} } ( {\mathfrak t} )
}
{ =} { f(- {\mathfrak t})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir verwenden die Hilfsfunktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h_{a, {\mathfrak u} } ( {\mathfrak t} )
}
{ \defeq} { e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } e^{-a \betrag { {\mathfrak t} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir hier mit $\betrag { {\mathfrak t} }$ die
\definitionsverweis {Summennorm}{}{}
von $t$ bezeichnen. Es ist unter Verwendung von
Beispiel 27.5
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \hat{h_{ a , {\mathfrak u} } } (v)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} e^{ - { \mathrm i} \left\langle v , {\mathfrak t} \right\rangle } e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } e^{-a \betrag { {\mathfrak t} } } d {\mathfrak t}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (2 \pi)^{n/2} } } \int_{\R^n} e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} - v , {\mathfrak t} \right\rangle } e^{-a \betrag { {\mathfrak t} } } d {\mathfrak t}
}
{ =} { \hat{h_{ a , 0 } } (v-{\mathfrak u} )
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} \prod_{j = 1}^n { \frac{ a }{ a^2+ (v_j-{\mathfrak u}_j )^2 } }
}
}
{}
{}{.}
Nach
Satz 28.1
angewendet auf $f$ und $h_{a , v }$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{\R^n} {h_{ a , {\mathfrak u} } } ({\mathfrak t} ) \cdot \hat{f} ({\mathfrak t}) d {\mathfrak t}
}
{ =} { \int_{\R^n} \hat{h_{ a , {\mathfrak u} } } ({\mathfrak t} ) \cdot f({\mathfrak t} ) d{\mathfrak t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist auch mit der Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak t}_j
}
{ = }{ as_j + {\mathfrak u}_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \int_{\R^n} e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } e^{- a \betrag { t } } \hat{f} ( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t}
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j = 1}^n { \frac{ a }{ a^2+ ( {\mathfrak t}_j-{\mathfrak u}_j )^2 } } \cdot f ( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t}
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j = 1}^n{ \frac{ a }{ a^2+ ( a s_j )^2 } } \cdot a^n \cdot f ( as + {\mathfrak u} ) d s
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j = 1}^n { \frac{ 1 }{ 1 + s_j^2 } } \cdot f ( as + {\mathfrak u} ) d s
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für $a \rightarrow 0$. Die linke Seite wird dabei nach
Satz 10.9
\zusatzklammer {mit der Majorante $\Vert { \hat{f}} \Vert$} {} {}
zu $\int_{\R^n} e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } \hat{f} ( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t}$. Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von $f$ zu
\mathl{\left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j = 1}^n { \frac{ 1 }{ 1 + s_j^2 } } \cdot f ( {\mathfrak u} ) d s}{.} Nach dem Satz von Fubini und
Aufgabe 31.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist dies gleich
\mathl{\left( \frac{ 2 }{ \pi } \right)^{n/2} f ( {\mathfrak u} ) \cdot \pi^n}{.} Also ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \hat{f} } (- {\mathfrak u} )
}
{ =} { \int_{\R^n} e^{ { \mathrm i} \left\langle {\mathfrak u} , {\mathfrak t} \right\rangle } \hat{f} ( {\mathfrak t} ) d {\mathfrak t}
}
{ =} { { \left( 2 \pi \right) }^{n/2} f ( {\mathfrak u} )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}