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Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 28

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Der Umkehrsatz

Satz

Es seien

f, g : ℝ^{n} ⟶ ℂ

integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten $\hat{f}$ bzw. $\hat{g}$ .

Dann gilt

$\int_{ℝ^{n}} f \hat{g} d λ^{n} = \int_{ℝ^{n}} \hat{f} g d λ^{n} .$

Beweis

Wir lassen den Vorfaktor in der Fourier-Transformierten weg. Es ist nach dem Satz von Fubini

\begin{matrix} \int_{ℝ^{n}} f \hat{g} d λ^{n} & = \int_{ℝ^{n}} f (𝔲) \hat{g} (𝔲) d 𝔲 \\ = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} f (𝔲) \cdot (\int_{ℝ^{n}} e^{- i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} g (𝔱) d 𝔱) d 𝔲 \\ = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n} \times ℝ^{n}} e^{- i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} \cdot f (𝔲) \cdot g (𝔱) d 𝔱 d 𝔲 \\ = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} g (𝔱) \cdot (\int_{ℝ^{n}} e^{- i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} f (𝔲) d 𝔲) d 𝔱 \\ = \int_{ℝ^{n}} g (𝔱) \cdot \hat{f} (𝔱) d 𝔱 \\ = \int_{ℝ^{n}} \hat{f} g d λ^{n} . \end{matrix}

◻

Satz

Für eine stetige beschränkte Funktion $f : ℝ^{n} \to ℂ$

gilt

$\hat{\hat{f}} (𝔱) = f (- 𝔱) .$

Beweis

Wir verwenden die Hilfsfunktionen

h_{a, 𝔲} (𝔱) := e^{i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} e^{- a | 𝔱 |},

wobei wir hier mit $| 𝔱 |$ die Summennorm von $t$ bezeichnen. Es ist unter Verwendung von Beispiel 27.5

\begin{matrix} \hat{h_{a, 𝔲}} (v) & = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} e^{- i ⟨ v, 𝔱 ⟩} e^{i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} e^{- a | 𝔱 |} d 𝔱 \\ = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} e^{i ⟨ 𝔲 - v, 𝔱 ⟩} e^{- a | 𝔱 |} d 𝔱 \\ = \hat{h_{a, 0}} (v - 𝔲) \\ = {(\frac{2}{π})}^{n / 2} \prod_{j = 1}^{n} \frac{a}{a^{2} + (v_{j} - 𝔲_{j})^{2}} . \end{matrix}

Nach Satz 28.1 angewendet auf $f$ und $h_{a, v}$ ergibt

\int_{ℝ^{n}} h_{a, 𝔲} (𝔱) \cdot \hat{f} (𝔱) d 𝔱 = \int_{ℝ^{n}} \hat{h_{a, 𝔲}} (𝔱) \cdot f (𝔱) d 𝔱 .

Daher ist auch mit der Substitution $𝔱_{j} = a s_{j} + 𝔲_{j}$

\begin{matrix} \int_{ℝ^{n}} e^{i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} e^{- a | t |} \hat{f} (𝔱) d 𝔱 & = {(\frac{2}{π})}^{n / 2} \int_{ℝ^{n}} \prod_{j = 1}^{n} \frac{a}{a^{2} + (𝔱_{j} - 𝔲_{j})^{2}} \cdot f (𝔱) d 𝔱 \\ = {(\frac{2}{π})}^{n / 2} \int_{ℝ^{n}} \prod_{j = 1}^{n} \frac{a}{a^{2} + (a s_{j})^{2}} \cdot a^{n} \cdot f (a s + 𝔲) d s \\ = {(\frac{2}{π})}^{n / 2} \int_{ℝ^{n}} \prod_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + s_{j}^{2}} \cdot f (a s + 𝔲) d s . \end{matrix}

Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für $a \to 0$ . Die linke Seite wird dabei nach Satz 10.9 (mit der Majorante $‖ \hat{f} ‖$ ) zu $\int_{ℝ^{n}} e^{i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} \hat{f} (𝔱) d 𝔱$ . Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von $f$ zu ${(\frac{2}{π})}^{n / 2} \int_{ℝ^{n}} \prod_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + s_{j}^{2}} \cdot f (𝔲) d s$ . Nach dem Satz von Fubini und Aufgabe 31.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist dies gleich ${(\frac{2}{π})}^{n / 2} f (𝔲) \cdot π^{n}$ . Also ist insgesamt

\hat{\hat{f}} (- 𝔲) = \int_{ℝ^{n}} e^{i ⟨ 𝔲, 𝔱 ⟩} \hat{f} (𝔱) d 𝔱 = {(2 π)}^{n / 2} f (𝔲) .

◻

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