Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume

Einleitung

Diese Seite zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) Funktionen als Vektoren,
(2) Funktionenräume als topologische Vektorräume,
(3) Innere Verknüpfungen auf Teilräumen

Zielsetzung

Integrale sind lineare Funktionale auf Funktionenräumen. Diese Lernressource zu Funktionenräume in der Wikiversity hat das Ziel, die Grundlagen für die Erweiterung des Integrals als stetiges lineares Funktional auf Funktionenräumen für Maßtheorie auf topologischen Räumen vorzubereiten.

Definition von Abbildungen

Eine Abbildung $f$ wird in der Regel durch 3 Komponenten definiert:

Definitionsbereich $\mathbb {D}$
Wertebereich $\mathbb {W}$ und einer
Abbildungsvorschrift.

Notation und Anforderungen

Mit der folgenden formalen Definition

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {D} &\rightarrow &\mathbb {W} \\&x&\mapsto &f\left(x\right)=...\end{array}}

stellt sich im Kontext der Maßtheorie die Frage, welche Anforderungen an die Funktion gestellt werden müssen, damit man auf diesem Funktionenraum mit Maßen operieren kann.

Allgemeines Beispiel

Ist $\mathbb {D} :=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$ eine Menge von Personen und $\mathbb {W} :=\{Anna,Bert,Charlie,\ldots ,Zacharias\}$ eine Menge von Vornamen, dann könnte man eine Abbildung $f:\mathbb {D} \to \mathbb {W}$ definieren, die jeder Person aus $\mathbb {D}$ einen Vornamen $\mathbb {W}$ aus zuordnet.

Definition - Funktionenraum

Sind $\mathbb {D} \not =\emptyset$ und $\mathbb {W} \not =\emptyset$ zwei Menge, dann bezeichnet ${\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )$ die Menge aller Abbildung von $\mathbb {D}$ und $\mathbb {W}$ .

Linearität eines Maßes

Betrachtet man die Linearität eines Maßes $\mu :{\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )\to \mathbb {K}$ , das jeder Funktion $f$ ein Maß $\mu (f)$ aus einem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ zuordnet, so sollten (wie bei einem klassischen Integral in der Analysis) folgende Eigenschaften erfüllt sein.

(Homogenität) $\mu (\lambda \cdot g)=\lambda \cdot \mu (f)$ für alle $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ ,
(Additivität) $\mu (f+g)=\mu (f)+\mu (g)$ für alle $f,g\in {\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )$ .

Bemerkung - Linearität

Die rechte Gleichungsseite der Eigenschaften linearer Funktionen ist unproblematisch, da ein Maß $\mu$ mit $\mu (f)$ eine Funktion $f$ einen Wert aus einem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ zuordnet. Damit sind $\lambda \cdot \mu (f)$ und $\mu (f)+\mu (g)$ wohldefinierte Verknüpfungen in dem $\mathbb {K}$ .

Bemerkung - Funktionenraum als Vektorraum

Auch wenn das Multiplikationszeichen ' $\cdot$ ' in der formalen Notation der Homogenität auf der rechten und linken Seite gleich aussieht, stellen diese unterschiedliche Verknüpfungen dar. $\lambda \cdot g$ ist die äußere Verknüpfung auf einem Vektorraum $(V,+,\cdot ,\mathbb {K}$ . Dies gilt analog für die innere addititve Verknüpfung '+' auf dem Funktionenraum ${\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )$

Wertebereich als IK-Vektorraum

Um eine innere Verknüpfung auf einem Funktionenraum definieren zu können, benötigt man bei einer argumentweisen Definition der Addition $f+g:=h_{1}$ mit $h_{1}(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in \mathbb {D}$ und Multiplikation mit Skalaren $\lambda \cdot f:=h_{2}$ mit $h_{2}(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in \mathbb {D}$ . Da alle $x\in \mathbb {D}$ die Funktionswerte $f(x),g(x)$ in $\mathbb {W}$ liegen, benötigt man eine Vektorraumstruktur auf $\mathbb {W}$ .

Definition - Funktionenvektorraum

Sei $\mathbb {D} \not =\emptyset$ eine Menge und $\mathbb {W}$ ein $\mathbb {K}$ -Vektorraum, dann bezeichnet ${\mathcal {F}}(\mathbb {D} ,\mathbb {W} )$ die Menge aller Abbildung von $\mathbb {D}$ und $\mathbb {W}$ .

Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume ist

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Studierende im Fach
Schüler:innen im Fach

Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume werden

Literatur/Quellennachweise

Siehe auch

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