Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume
Einleitung
[Bearbeiten]Diese Seite zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
- (1) Funktionen als Vektoren,
- (2) Funktionenräume als topologische Vektorräume,
- (3) Innere Verknüpfungen auf Teilräumen
Zielsetzung
[Bearbeiten]Integrale sind lineare Funktionale auf Funktionenräumen. Diese Lernressource zu Funktionenräume in der Wikiversity hat das Ziel, die Grundlagen für die Erweiterung des Integrals als stetiges lineares Funktional auf Funktionenräumen für Maßtheorie auf topologischen Räumen vorzubereiten.
Definition von Abbildungen
[Bearbeiten]Eine Abbildung wird in der Regel durch 3 Komponenten definiert:
- Definitionsbereich
- Wertebereich und einer
- Abbildungsvorschrift.
Notation und Anforderungen
[Bearbeiten]Mit der folgenden formalen Definition
stellt sich im Kontext der Maßtheorie die Frage, welche Anforderungen an die Funktion gestellt werden müssen, damit man auf diesem Funktionenraum mit Maßen operieren kann.
Allgemeines Beispiel
[Bearbeiten]Ist eine Menge von Personen und eine Menge von Vornamen, dann könnte man eine Abbildung definieren, die jeder Person aus einen Vornamen aus zuordnet.
Definition - Funktionenraum
[Bearbeiten]Sind und zwei Menge, dann bezeichnet die Menge aller Abbildung von und .
Linearität eines Maßes
[Bearbeiten]Betrachtet man die Linearität eines Maßes , das jeder Funktion ein Maß aus einem Körper zuordnet, so sollten (wie bei einem klassischen Integral in der Analysis) folgende Eigenschaften erfüllt sein.
- (Homogenität) für alle und ,
- (Additivität) für alle .
Bemerkung - Linearität
[Bearbeiten]Die rechte Gleichungsseite der Eigenschaften linearer Funktionen ist unproblematisch, da ein Maß mit eine Funktion einen Wert aus einem Körper zuordnet. Damit sind und wohldefinierte Verknüpfungen in dem .
Bemerkung - Funktionenraum als Vektorraum
[Bearbeiten]Auch wenn das Multiplikationszeichen '' in der formalen Notation der Homogenität auf der rechten und linken Seite gleich aussieht, stellen diese unterschiedliche Verknüpfungen dar. ist die äußere Verknüpfung auf einem Vektorraum . Dies gilt analog für die innere addititve Verknüpfung '+' auf dem Funktionenraum
Wertebereich als IK-Vektorraum
[Bearbeiten]Um eine innere Verknüpfung auf einem Funktionenraum definieren zu können, benötigt man bei einer argumentweisen Definition der Addition mit für alle und Multiplikation mit Skalaren mit für alle . Da alle die Funktionswerte in liegen, benötigt man eine Vektorraumstruktur auf .
Definition - Funktionenvektorraum
[Bearbeiten]Sei eine Menge und ein -Vektorraum, dann bezeichnet die Menge aller Abbildung von und .
Zielgruppe
[Bearbeiten]Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume ist
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume sind
- Studierende im Fach
- Schüler:innen im Fach
Aufgaben für Lernende / Studierende
[Bearbeiten]Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume werden
Literatur/Quellennachweise
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Siehe auch
[Bearbeiten]Seiteninformation
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Wiki2Reveal
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