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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Ferienblatt 3

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Aufwärmaufgaben

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

  1. ,
  2. ,
  3. .



Zeige .



Es sei eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Verdichtungskriterium von Cauchy): Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert.



Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe



Bestimme den Grenzwert



Untersuche die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.



Bestimme die lokalen Extrema der Funktion



Es sei und seien

zwei -mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

gilt.



Es sei eine Teilmenge von und . Wir definieren . Zeige die folgenden Aussagen:

  1. Falls offen ist, so ist abgeschlossen.
  2. Falls abgeschlossen ist, so ist offen.
  3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.



Es sei eine differenzierbare Funktion derart, dass der Grenzwert existiert. Zeige, dass dann auch gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

  1. ,
  2. .



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige .



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Satz von Olivier): Wenn die Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert .



Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

bijektiv ist und berechne .


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