Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex

\setcounter{section}{44}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v) }
{ = }{w }
{ \in }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} {G} {W } {} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{{\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P} }
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Intervall,
\mathl{W}{} ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {I} {W } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{.} Zeige, dass zwischen dem \definitionsverweis {totalen Differential}{}{} und der \definitionsverweis {Kurven-Ableitung}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{t} { \left( 1 \right) } }
{ =} { \varphi'(t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x^2y^3 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$ \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} \aufzaehlungzwei {Es seien \maabb {L_1} {V} {W_1 } {} und \maabb {L_2} { V} {W_2 } {} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2 } {v} {(L_1(v),L_2(v)) } {,} ${\mathbb K}$-linear ist. } {Es seien \maabb {f_1} { V} {W_1 } {} und \maabb {f_2} {V } { W_2 } {} im Punkt
\mathl{P \in V}{} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2 } {Q} {(f_1(Q),f_2(Q)) } {,} im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P} }
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{a,b \in \N}{.} Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} für die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {x^ay^b } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {(x_1 , \ldots , x_n) } {f(x_1 , \ldots , x_n) } {,} in jedem Punkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei \definitionsverweis {komplexe Vektorräume}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} (komplex) \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Abbildung.

a) Zeige, dass $\varphi$ auch reell differenzierbar ist, wenn man \mathkor {} {V} {und} {W} {} als \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in einem beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb C}}{} bezüglich der reellen Basis
\mathl{1,i \in {\mathbb C}}{.}

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {,} die überall reell differenzierbar ist, aber nirgendwo \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} in einer Variablen. Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^n} { {\mathbb K}^n } {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n)) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $V$ und $W$ zwei \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Betrachte die Evaluationsabbildung \maabbeledisp {\operatorname{Ev}} {\operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} }(V,W) \times V } { W } {(L,v)} {L(v) } {.} Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum
\mathl{\operatorname{Hom}_{ {\mathbb K} }(V,W)}{} ebenfalls ein endlichdimensionaler ${\mathbb K}$-Vektorraum ist. \aufzaehlungzwei {Ist die Evaluationsabbildung linear? } {Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(L,v)}{} in Richtung
\mathl{(M,u)}{} mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{G \subseteq V}{} eine offene Teilmenge. Weiter seien \maabb {f,g} {G } {{\mathbb K} } {} zwei in
\mathl{P \in G}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Wende die Kettenregel und Aufgabe 44.5 auf das Diagramm
\mathdisp {G \stackrel{f,g} \longrightarrow {\mathbb K} \times {\mathbb K} \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow {\mathbb K}} { }
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
\mathdisp {\left(D(f \cdot g)\right)_{P} = g(P) \cdot \left(Df \right)_{P} + f(P) \cdot \left(Dg\right)_{P}} { }
gilt.

}
{} {}