Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.


Aufgabe

Sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.


Aufgabe

Berechne für die Addition

und für die Multiplikation

das totale Differential.


Aufgabe

Bestimme das totale Differential für die Abbildung


Aufgabe

Seien , und endlichdimensionale -Vektorräume.

  1. Seien und -lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    -linear ist.

  2. Seien und im Punkt differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

    im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Seien . Bestimme das totale Differential für die Abbildung


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine Polynomfunktion

in jedem Punkt total differenzierbar ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und zwei komplexe Vektorräume, eine offene Teilmenge und

eine in (komplex-)differenzierbare Abbildung.

a) Zeige, dass auch reell-differenzierbar ist, wenn man und als reelle Vektorräume auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung

in einem beliebigen Punkt bezüglich der reellen Basis .

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung

die überall reell-differenzierbar ist, aber nirgendwo komplex-differenzierbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung


Aufgabe (5 Punkte)

Seien und zwei endlichdimensionale -Vektorräume. Betrachte die Evaluationsabbildung

Es sei daran erinnert, dass der Homomorphismenraum ebenfalls ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.

  1. Ist die Evaluationsabbildung linear?
  2. Bestimme die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung mittels der Definition von totaler Differenzierbarkeit.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 44.5 auf das Diagramm

an, um zu zeigen, dass die Gleichung
gilt.



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