Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Bilinearform ist \definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Bilinearform bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} ist \definitionsverweis {invertierbar}{}{.} }{Die Bilinearform ist vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,n-p)}{} \zusatzklammer {mit einem
\mathl{p \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-q,q)}{} auf einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und es sei $G$ die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von
\mathl{\det G}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^3-xy+y^2 } {,} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 -y \cdot \sin x } {,}

im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Notiere das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} für eine \zusatzklammer {hinreichend oft \definitionsverweis {differenzierbare}{}{}} {} {} Funktion in \mathkor {} {2} {oder} {3} {} Variablen für die Grade
\mathl{k=1,2,3}{.}

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ = }{ (r_1, \ldots , r_{n}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n$-\definitionsverweis {Tupel}{}{} natürlicher Zahlen. Es sei $k \defeq \sum_{ j=1}^{n} r_{ j }$. Dann nennt man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { k } { r } }
{ =} { { \frac{ {k}! }{ r_1! r_2! \cdots r_{n}! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen \definitionswort {Polynomialkoeffizienten}{.}

\inputaufgabe
{}
{

In einem Studium werden $11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar $3$ Seminarscheine, $5$ Klausuren, $2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{(r_1 , \ldots , r_k) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{}
{ n }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {} { { \{ 1 , \ldots , n \} } } { \{ 1 , \ldots , k \} } {,} bei denen das \definitionsverweis {Urbild}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus genau
\mathl{r_j}{} Elementen besteht, gleich dem \definitionsverweis {Multinomialkoeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r} }
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k,n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{(r_1 , \ldots , r_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k r_j }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der $n$-Tupel
\mathdisp {(j_1 , \ldots , j_n) \in \{ 1 , \ldots , k \}^n} { , }
in denen die Zahl $j$ genau $r_j$-mal vorkommt, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r} }
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Anzahl der geordneten \definitionsverweis {Partitionen}{}{} mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{(r_1 , \ldots , r_k) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer $n$-elementigen Menge gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom{n}{r} }
{ =} { { \frac{ n! }{ r_1! \cdots r_k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a_1 , \ldots , a_{ n }$ reelle Zahlen. Beweise den \stichwort {Polynomialsatz} {,} das ist die Gleichung
\mathdisp {(a_1 + \cdots + a_{ n })^{ k } = \sum_{ r=( r_1 , \ldots , r_{ n }), \, \sum_{i=1}^{ n } r_i =k } \binom{ k }{ r } a_1^{ r_1}a_2^{ r_2} \cdots a_{ n }^{ r_{ n} }} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \\1 & 3 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^3} {\R } {(x,y,z)} {z \cdot \exp (xy) } {,}

im Nullpunkt
\mathl{(0,0,0)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2\times\R_+} {\R } {(x,y,z)} {xy^3-x^2 \ln z } {,} im Punkt
\mathl{(0,2,3)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2y-xy^2+x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} in $n$ Variablen vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass $f$ mit dem \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad
\mathl{\leq k}{} von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

}
{} {}