Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 47

Minorenkriterien für symmetrische Bilinearformen

Satz

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

Beweis

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ${}0$ ist, ist nach Aufgabe 47.1 die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form ${}(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass ${}q=a$ ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von ${}V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension ${}n-1$ bewiesen und es liege ein ${}n$-dimensionaler Raum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

${}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-1}\rangle \,$

hat die Dimension ${}n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

${}D_{n}=\det M_{n}=\det G\,$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt ${}\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}$ den Typ ${}(n-1-b,b)$, wobei ${}b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1},\ldots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

${}b\leq q\leq b+1\,,$

da ein ${}q$-dimensionaler Untervektorraum ${}W\subseteq V$, auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

${}W'=U\cap W\subseteq U\,$

führt, der die Dimension ${}q$ oder ${}q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe 47.2 ist das Vorzeichen von ${}D_{n-1}$ gleich ${}(-1)^{b}$ und das Vorzeichen von ${}D_{n}$ gleich ${}(-1)^{q}$. Das bedeutet, dass zwischen ${}D_{n-1}$ und ${}D_{n}$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ${}a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

${}q=b+1\,$

ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

Beweis

(1). Wenn die Bilinearform positiv definit ist, so ist nach Aufgabe 47.2 das Vorzeichen der Determinante der Gramschen Matrix gleich ${}(-1)^{0}=1$, also positiv. Da die Einschränkung der Form auf die Unterräume ${}U_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ ebenfalls positiv definit ist, sind auch die Determinanten zu den Untermatrizen positiv.
Wenn umgekehrt die Determinanten alle positiv sind, so folgt aus Satz 47.1, dass die Bilinearform positiv definit ist.

(2) folgt aus (1), indem man die negative Bilinearform, also ${}-\left\langle -,-\right\rangle$, betrachtet.

$\Box$

Die Taylor-Formel - Vorbereitungen

Ein Polynom in ${}n$ Variablen,

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,$

(wobei die Summe endlich ist) lässt sich entlang des Grades des Exponententupels, also

${}\vert {\,r\,}\vert =\vert {\,(r_{1},\ldots ,r_{n})\,}\vert =\sum _{j=1}^{n}r_{j}\,$

anordnen, also

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{d=0}^{e}\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right)\,.$

Für jedes ${}k\in \mathbb {N}$ kann man dies auch schreiben als

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=T_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+R_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

mit ($x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$)

$T_{k}(x)=\sum _{d=0}^{k}\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,R_{k}(x)=\sum _{d=k+1}^{e}\left(\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =d}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\right).$

Für ${}R_{k}$ gilt dabei

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0.$

Bei ${}k=1$ ist

$T_{1}(x)=a_{(0,\ldots ,0)}+a_{(1,0,\ldots ,0)}x_{1}+\cdots +a_{(0,\ldots ,0,1)}x_{n}$

die lineare Approximation von ${}f$ im Punkt ${}0=(0,\ldots ,0)$, und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung ${}r(x)={\frac {R_{1}(x)}{\Vert {x}\Vert }}$. Im Allgemeinen liefern die Polynome ${}T_{k}(x)$ bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approxmation, und mit ${}R_{k}(x)$ kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen ${}f$ approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen.

Zu einem Vektor ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und einem Tupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend

${}x^{r}:=x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$

Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}a_{(r_{1},\ldots ,r_{n})}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}=\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n}}a_{r}x^{r}\,.$

Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn ${}V$ ein ${}\mathbb {R}$-Vektorraum mit einer Basis ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ ist, so setzt man ${}D_{i}:=D_{w_{i}}$, und für ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ setzt man

${}D^{r}:=D_{1}^{r_{1}}\circ D_{2}^{r_{2}}\circ \cdots \circ D_{n}^{r_{n}}\,.$

Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im ${}\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ die Fakultät durch

${}r!:=r_{1}!\cdots r_{n}!\,$

und bei ${}\sum _{j=1}^{n}r_{j}=k$ die Multinomialkoeffizienten (oder Polynomialkoeffizienten) durch

${}{\binom {k}{r}}:={\frac {k!}{r!}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,.$

Bevor wir die Taylor-Formel beweisen, die das lokale Verhalten einer Funktion in einer „kleinen“ offenen Ballumgebung eines Punktes beschreibt, wenden wir uns dem lokalen Verhalten in dem Punkt längs einer fixierten Richtung zu, wofür wir die Taylor-Formel in einer Variablen zur Verfügung haben. Zu einer Funktion ($G\subseteq V$, ${}V$ euklidischer Vektorraum)

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

ist die Differenzierbarkeit im Punkt ${}P\in G$ in Richtung ${}v\in V$ äquivalent zur Differenzierbarkeit der Funktion

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

für ${}t=0$, wobei ${}I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Wir werden zunächst zeigen, dass eine entsprechende Beziehung auch für höhere Ableitungen gilt.

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ eine fixierte Richtung. Es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

wobei ${}I$ ein offenes Intervall um ${}0$ sei mit ${}P+tv\in G$ für alle ${}t\in I$.

Dann ist ${}h$ ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar, und es gilt

${}h^{(k)}(t)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {k!}{r!}}D^{r}f(P+tv)\cdot v^{r}\,$

für alle ${}t\in I$.

Beweis

Wir zeigen durch Induktion über ${}k$, dass

$h^{(k)}(t)=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\,$

gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge ${}k$ aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für ${}k=1$ ist

${}{\begin{aligned}h'(t)&={\left(D_{v}f\right)}{\left(P+tv\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(v\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot {\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot D_{j}f(P+tv).\end{aligned}}$  

Der Induktionsschluss ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}h^{(k+1)}(t)&=(h^{(k)}(t))'\\&={\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}'\\&=\sum _{j=1}^{n}D_{j}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}v_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}\right)}\\&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k},j)\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k+1}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}.\end{aligned}}$ 

Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{k})$ in ${}{\{1,\ldots ,n\}}^{k}$, bei denen die Zahl ${}i$ genau ${}r_{i}$-mal vorkommt, wird durch die Polynomialkoeffizienten

${}{\binom {k}{r}}={\frac {k!}{r!}}={\frac {k!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\,$

beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.

$\Box$

Definition

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal stetig-differenzierbare Funktion und ${}P\in G$. Dann heißt

$\sum _{r={\left(r_{1},\ldots ,r_{n}\right)},\,\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}$

das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ zu ${}f$ in ${}P$.

Satz

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(k+1)$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass die Strecke von ${}P$ nach ${}P+v$ ganz in ${}G$ liegt. Dann gibt es ein ${}c\in [0,1]$ mit

$f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\,.$

Beweis

Die Funktion

$h\colon {]{-\delta },1+\delta [}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

(mit einem geeigneten ${}\delta >0$) ist nach Satz 47.3 ${}(k+1)$-mal differenzierbar. Aufgrund der Taylor-Formel für eine Variable gibt es ein ${}c\in [0,1]$ mit

${}h(1)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\,.$

Wir drücken die einzelnen Summanden mit Hilfe von Satz 47.3 aus und erhalten

${}{\begin{aligned}f(P+v)&=h(1)\\&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {h^{(j)}(0)}{j!}}+{\frac {h^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}}\\&=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}.\end{aligned}}$

$\Box$

Fußnoten

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