Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 48

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.


Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe *

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, , offen, und . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in besitzt, die andere nicht.


Aufgabe

Sei

eine Polynomfunktion und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Zeige, dass auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei offen, ein Punkt und

eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien

zwei -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen und in vom Grad . Zeige, dass das Produkt ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom von in vom Grad die Beziehung

besteht, wobei der Subskript bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad genommen wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei

eine Funktion und betrachte

Zeige, dass allenfalls im Nullpunkt ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn in ein isoliertes lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

mit

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

gilt.



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