Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt ${}fg$ im Punkt ${}P$ vom Grad ${}\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von ${}f$ und ${}g$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq 1$ sein muss.

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{4},

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+5xy,

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2x^{2}+3y^{2}+4xy,

auf Extrema.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x^{3}y,

auf Extrema.

Aufgabe *

Es sei

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

{}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$ . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}\dim _{\!}{\left(V\right)}\geq 2$ , ${}G\subseteq V$ offen, und ${}P\in G$ . Man gebe ein Beispiel von zwei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

an derart, dass ihre quadratischen Approximationen in ${}P$ übereinstimmen, und die eine Funktion ein Extremum in ${}P$ besitzt, die andere nicht.

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}

eine Polynomfunktion und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}z_{i},\,i=1,\ldots ,n$ . Zeige, dass ${}f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass es maximal ein Polynom ${}p(x_{1},\ldots ,x_{n})$ vom Grad ${}\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {f(x)-p(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

zwei ${}k$ -mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen ${}T_{k}(f)$ und ${}T_{k}(g)$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$ . Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ${}k$ -mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom ${}T_{k}(fg)$ von ${}fg$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$ die Beziehung

{}T_{k}(fg)=(T_{k}(f)\cdot T_{k}(g))_{\leq k}\,

besteht, wobei der Subskript ${}{\leq k}$ bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad ${}k$ genommen wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I={]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}$ . Untersuche die Funktion

f\colon I\times I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {\cos x}{\cos y}},

auf Extrema.

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+9y^{2}+6xy,

auf Extrema.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei

h\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion und betrachte

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto h(x^{2}+y^{2}).

Zeige, dass ${}f$ allenfalls im Nullpunkt ${}(0,0)$ ein isoliertes lokales Extremum besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn ${}h$ in ${}0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.