Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Liste der Hauptsätze

???: Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.

 

???: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

 

???: Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}a\in I$ und es sei

${}F(x):=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,$

die zugehörige Integralfunktion.

Dann ist ${}F$ differenzierbar und es gilt

${}F'(x)=f(x)\,$

für alle ${}x\in I$.

 

???: Existenz von Stammfunktionen

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann besitzt ${}f$ eine Stammfunktion.

 

???: Newton-Leibniz-Formel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, für die ${}F$ eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für ${}a,b\in I$ die Gleichheit

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)\,.$

 

???: Stammfunktion der Potenzreihe

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

eine in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergente Potenzreihe.

Dann ist die Potenzreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$

ebenfalls in ${}U{\left(0,r\right)}$ konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für ${}f$ dar.

 

???: Partielle Integration

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig differenzierbare Funktionen.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt\,.$

 

???: Stammfunktion der Umkehrfunktion

Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei ${}F$ eine Stammfunktion von ${}f$.

Dann ist

${}G(y):=yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\,$

eine Stammfunktion der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$.

 

???: Substitutionsregel

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei

$g\colon [a,b]\longrightarrow I$

stetig differenzierbar.

Dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

 

???: Stammfunktionen zu negativen Potenzen von quadratischen Polynomen

Es sei ${}x^{2}+bx+c$ (mit ${}b,c\in \mathbb {R}$) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h., dass ${}\triangle :={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$ ist).

Dann ist

${\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}$

eine Stammfunktion von

${\frac {1}{x^{2}+bx+c}}$

und für ${}n\geq 1$ gilt die Rekursionsformel

$\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n+1}}}dx={\frac {1}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}{\left({\frac {2z+b}{{\left(z^{2}+bz+c\right)}^{n}}}{|}_{r}^{s}+(4n-2)\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}dx\right)}\,.$

 

???: Komplexe Partialbruchzerlegung

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

${}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

 

???: Reelle Partialbruchzerlegung

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

$Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen ${}Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in \mathbb {R}$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome ${}L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, ${}1\leq k\leq u$, ${}1\leq \ell \leq t_{k}$, mit

${}{\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$

 

???: Integral bei einer Funktionenfolge

Es sei

$f_{n}\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen Funktionen mit der Grenzfunktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann gilt die Beziehung

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$

 

???: Stetigkeit des Integrals

Es sei ${}(X,d)$ ein metrischer Raum und ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall. Es sei

$f\colon X\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto f(x,t),$

eine stetige Funktion.

Dann ist auch die Funktion

$X\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{b}f(x,t)\,dt,$

stetig.

 

???: Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale

Es sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$.

Dann existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

genau dann, wenn die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

konvergiert.

 

???: Eigenschaften der Fakultätsfunktion

Die Fakultätsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(x)=x\cdot \operatorname {Fak} \,(x-1)$ für ${}x>0$.
2. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(0)=1$.
3. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,(n)=n!$ für natürliche Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$.
4. Es ist ${}\operatorname {Fak} \,{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {\pi }}$.

 

???: Lösungen zu homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

die auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ auf ${}I$.

Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y{\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

 

???: Lösungen zu inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und es sei

${}a(t)=\exp(G(t))\,$

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf ${}I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

${}y(t)=c(t)a(t)\,,$

wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

 

???: Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Es sei

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

wobei ${}h$ keine Nullstelle besitze. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h}}$. Weiter sei ${}I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit ${}G(I')\subseteq H(J)$.

Dann ist ${}H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild ${}H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$

Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung

$y(t_{0})=y_{0}{\text{ mit }}(t_{0},y_{0})\in I\times J$

gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften ${}G(t_{0})=0$ und ${}H(y_{0})=0$ erfüllen, so ist

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,$

die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.

 

???: Differenzierbare Kurven und Komponenten

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon I\longrightarrow V$

eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

$f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$.

Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar sind.

In diesem Fall gilt

${}f'(t)=f_{1}'(t)\cdot v_{1}+f_{2}'(t)\cdot v_{2}+\cdots +f_{n}'(t)\cdot v_{n}\,.$

 

???: Mittelwertsatz für differenzierbare Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon [a,b]\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t),$

eine differenzierbare Kurve.

Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$

 

???: Stetig differenzierbar und Rektifizierbarkeit

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}f$ rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

${}L(f)=\int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Bogenlänge eines Graphen

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

Dann ist die Länge des Graphen von ${}f$ gleich

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

 

???: Eigenschaften der Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}v\in V$ ein Vektor und seien

$f,g\colon G\longrightarrow W$

Abbildungen, die im Punkt ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Summe ${}f+g$ ist ebenfalls differenzierbar in Richtung ${}v$ mit

   ${}{\left(D_{v}(f+g)\right)}{\left(P\right)}={\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}+{\left(D_{v}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

2. Das Produkt ${}af$ mit ${}a\in {\mathbb {K} }$ ist ebenfalls differenzierbar in Richtung ${}v$ mit

   ${}{\left(D_{v}(af)\right)}{\left(P\right)}=a{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,.$

3. Die Funktion ${}f$ ist auch in Richtung ${}cv$ mit ${}c\in {\mathbb {K} }$ differenzierbar und es gilt

   ${}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,.$

 

???: Richtungsableitung und Komponenten

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei ${}v\in V$ ein Vektor. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}W$ der Produktraum

   ${}W=W_{1}\times \cdots \times W_{k}\,$

   aus endlichdimensionalen Vektorräumen ${}W_{1},\ldots ,W_{k}$. Dann ist ${}\varphi$ genau dann in ${}P$ differenzierbar in Richtung ${}v$, wenn sämtliche Komponentenabbildungen

   $\varphi _{i}\colon G\longrightarrow W_{i}$

   in ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt

   ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}=({\left(D_{v}\varphi _{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}\varphi _{k}\right)}{\left(P\right)})\,$

2. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine Basis von ${}W$ mit den Koordinaten

   $y_{j}\colon W\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

   Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen

   $f_{j}=y_{j}\circ \varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   in ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sind. In diesem Fall ist

   ${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left({\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)},\ldots ,{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\right)}=w_{1}{\left(D_{v}f_{1}\right)}{\left(P\right)}+\cdots +w_{n}{\left(D_{v}f_{n}\right)}{\left(P\right)}\,.$

 

???: Partielle Ableitung und Richtungsableitung

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$

eine Abbildung.

Dann ist ${}f$ in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen von sämtlichen Komponentenfunktionen ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

In diesem Fall stimmt die ${}i$-te partielle Ableitung ${}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)$ von ${}f$ in ${}P$ mit der Richtungsableitung ${}{\left(D_{e_{i}}f_{j}\right)}{\left(P\right)}$ von ${}f_{j}$ in ${}P$ in Richtung des ${}i$-ten Standardvektors ${}e_{i}$ überein, und ${}f$ ist in ${}P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in ${}P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.

 

???: Der Satz von Schwarz

Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}{\left(D_{v}D_{v}\varphi \right)}{\left(u\right)}$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

 

???: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ auch stetig im Punkt ${}P$.

 

???: Kettenregel

Es seien ${}V,\,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist.

Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

 

???: Differenzierbarkeit und Richtungsableitung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ in jede Richtung ${}v$ differenzierbar, und es gilt

${}{\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

 

???: Differenzierbarkeit und stetige partielle Ableitungen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}$ eine Abbildung. Es seien ${}x_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Koordinaten von ${}{\mathbb {K} }^{n}$ und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ existieren und in ${}P$ stetig sind.

Dann ist ${}\varphi$ in ${}P$ (total) differenzierbar.

Ist die Abbildung ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis des ${}{\mathbb {K} }^{m}$ durch die Koordinatenfunktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in ${}P$ durch die Jacobi-Matrix

${\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$

beschrieben.

 

???: Linearformen und Vektoren

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, der mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen

1. Für jeden Vektor ${}u\in V$ sind die Zuordnungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle u,v\right\rangle ,$

   und

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,u\right\rangle ,$

   ${}K$- linear.

2. Die Zuordnung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,u\longmapsto \left\langle u,-\right\rangle ,$

   ist ${}K$-linear.

3. Wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ nicht ausgeartet ist, so ist die Zuordnung in (2) injektiv. Ist ${}V$ zusätzlich endlichdimensional, so ist diese Zuordnung bijektiv.

 

???: Steigungen und Gradient

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P\in G$ differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jeden Vektor ${}v\in V$ ist

   ${}\vert {{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}}\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {\operatorname {Grad} \,f(P)}\Vert \,.$

2. Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn ${}v$ linear abhängig zum Gradienten ist.
3. Sei ${}\operatorname {Grad} \,f(P)\neq 0$. Unter allen Vektoren ${}v\in V$ mit ${}\Vert {v}\Vert =1$ ist die Richtungsableitung in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der Norm des Gradienten.

 

???: Extrema und totales Differential

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, die im Punkt ${}P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, so ist

   ${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=0\,.$

2. Wenn ${}f$ in ${}P$ total differenzierbar ist, so verschwindet das totale Differential, also

   ${}\left(Df\right)_{P}=0\,.$

 

???: Sylvesterscher Trägheitssatz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$.

Dann ist die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen.

 

???: Minorenkriterium für den Typ

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

${}M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}\,$

seien für ${}k=1,\ldots ,n$ von ${}0$ verschieden. Es sei ${}a$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(n-a,a)$.

 

???: Minorenkriterium für Definitheit

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis und es seien ${}D_{k}$ die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

$M_{k}={\left(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \right)}_{1\leq i,j\leq k},\,k=1,\ldots ,n.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ positiv definit, wenn alle ${}D_{k}$ positiv sind.
2. Genau dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge ${}D_{0}=1,\,D_{1},\,D_{2},\ldots ,D_{n}$ an jeder Stelle wechselt.

 

???: k-te Ableitung längs einer Geraden

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ eine fixierte Richtung. Es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

wobei ${}I$ ein offenes Intervall um ${}0$ sei mit ${}P+tv\in G$ für alle ${}t\in I$.

Dann ist ${}h$ ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar, und es gilt

${}h^{(k)}(t)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k}{\frac {k!}{r!}}D^{r}f(P+tv)\cdot v^{r}\,$

für alle ${}t\in I$.

 

???: Taylor-Formel längs einer Richtung

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}(k+1)$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass die Strecke von ${}P$ nach ${}P+v$ ganz in ${}G$ liegt. Dann gibt es ein ${}c\in [0,1]$ mit

$f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+\sum _{\vert {\,r\,}\vert =k+1}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P+cv)\cdot v^{r}\,.$

 

???: Taylor-Formel

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen,

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}k$-mal

stetig differenzierbare Funktion, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}U{\left(P,\epsilon \right)}\subseteq G$ ist.

Dann gilt für alle ${}v$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\epsilon \right)}$ die Beziehung

${}f(P+v)=\sum _{\vert {\,r\,}\vert \leq k}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}+R_{k}(v)\,,$

wobei

${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {R_{k}(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0\,$

ist.

 

???: Offenheit der Definitheit

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv (negativ) definit sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass die Hesse-Form ${}\operatorname {Hess} _{Q}\,f$ in jedem Punkt ${}Q\in U$ positiv (negativ) definit ist.

 

???: Hesse-Form und Extrema

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}P\in G$ mit ${}\left(Df\right)_{P}=0$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ negativ definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Maximum in ${}P$.
2. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ positiv definit ist, so besitzt ${}f$ ein isoliertes lokales Minimum in ${}P$.
3. Wenn ${}\operatorname {Hess} _{P}\,f$ indefinit ist, so besitzt ${}f$ in ${}P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.

 

???: Der Banachsche Fixpunktsatz

Es sei ${}M$ ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine

stark kontrahierende Abbildung.

Dann besitzt ${}f$ genau einen Fixpunkt.

 

???: Der Satz über die Umkehrabbildung

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

 

???: Der Satz über implizite Abbildungen

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq G$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

 

???: Der Satz über die injektive Abbildung

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ injektiv sei.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq G$, derart, dass ${}\varphi {|}_{U}$ injektiv ist.

 

???: Differenzierbarkeit und Lipschitz-Bedingung

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles offenes Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto f(t,v_{1},\ldots ,v_{n}),$

ein Vektorfeld auf ${}U$ derart, dass die partiellen Ableitungen nach ${}v_{j}$ existieren und stetig sind.

Dann genügt ${}f$ lokal einer Lipschitz-Bedingung.

 

???: Integralabschätzung für stetige Kurven

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g\colon [a,b]\longrightarrow V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

 

???: Differentialgleichung und Integralgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

 

???: Der Satz von Picard Lindelöf

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem ${}(t_{0},w)\in I\times U$ ein offenes Intervall ${}J$ mit ${}t_{0}\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

existiert.

 

???: Globale Eindeutigkeit von Lösungen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien

$v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$

Lösungen des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

Dann ist ${}v_{1}=v_{2}$.

 

???: Fasern und Lösungen bei Gradientenfeld

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=G(v)\,.$

Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte von ${}h$ sind.

 

???: Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme erster Ordnung

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge und

$h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

${}y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$

über die Beziehung

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,.$

 

???: Trigonalisierbarkeit von linearen Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist trigonalisierbar.
2. Die Abbildung ${}\varphi$ wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben.
3. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

 

???: Lineares Differentialgleichungssystem über ${}{\mathbb {C} }$

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w'=Nw{\text{ mit }}N=BMB^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

${}{\begin{pmatrix}w'_{1}\\w'_{2}\\\vdots \\w'_{n-1}\\w_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n-1}\\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

(mit ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen ${}v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

 

???: Lineares Differentialgleichungssystem über ${}\mathbb {R}$

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=u\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}t_{0}\in \mathbb {R}$.

Dann gibt es genau eine auf ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

für dieses Anfangswertproblem.

 

???: Struktur der Lösungsmenge eines linearen Differentialgleichungssystems über ${}{\mathbb {K} }$

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann ist die Menge der Lösungen

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

ein ${}n$- dimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum.