???: Integrierbarkeit stetiger Funktionen
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann ist
Riemann-integrierbar.
???: Mittelwertsatz der Integralrechnung
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann gibt es ein
mit
-
???: Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion. Es sei
und es sei
-
die zugehörige
Integralfunktion.
Dann ist
differenzierbar
und es gilt
-
für alle
.
???: Existenz von Stammfunktionen
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann besitzt eine
Stammfunktion.
???: Newton-Leibniz-Formel
???: Stammfunktion der Potenzreihe
Es sei
-
eine in
konvergente
Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
-
ebenfalls in konvergent und stellt dort eine
Stammfunktion
für dar.
???: Partielle Integration
Es seien
-
stetig differenzierbare
Funktionen.
Dann gilt
-
???: Stammfunktion der Umkehrfunktion
???: Substitutionsregel
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
-
eine
stetige Funktion. Es sei
-
stetig differenzierbar.
Dann gilt
-
???: Stammfunktionen zu negativen Potenzen von quadratischen Polynomen
???: Komplexe Partialbruchzerlegung
???: Reelle Partialbruchzerlegung
Es seien
, ,
Polynome und es sei
-
mit verschiedenen
und verschiedenen quadratischen Polynomen ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
, , ,
und eindeutig bestimmte
lineare Polynome
, , , mit
-
???: Integral bei einer Funktionenfolge
Es sei
-
eine
gleichmäßig konvergente Folge
von
stetigen Funktionen
mit der
Grenzfunktion
-
Dann gilt die Beziehung
-
???: Stetigkeit des Integrals
Es sei ein
metrischer Raum und ein
kompaktes Intervall.
Es sei
-
eine
stetige Funktion.
Dann ist auch die Funktion
-
stetig.
???: Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale
Es sei
ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
-
eine
stetige
fallende Funktion
mit
für alle
.
Dann existiert das
uneigentliche Integral
-
genau dann, wenn die
Reihe
-
konvergiert.
???: Eigenschaften der Fakultätsfunktion
???: Lösungen zu homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen
???: Lösungen zu inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen
Es sei
-
eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit
stetigen Funktionen
.
Es sei eine
Stammfunktion
von und es sei
-
eine
Lösung
der zugehörigen
homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen
(auf )
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
-
wobei eine Stammfunktion zu ist.
Das
Anfangswertproblem
-
(mit )
besitzt eine eindeutige Lösung.
???: Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Es sei
-
eine
Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit
stetigen Funktionen
-
und
-
wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine
Stammfunktion
von und eine Stammfunktion von . Weiter sei
ein Teilintervall mit
.
Dann ist eine
bijektive Funktion
auf sein Bild und die
Lösungen
dieser Differentialgleichung haben die Form
-
Wenn zusätzlich die
Anfangsbedingung
-
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften
und
erfüllen, so ist
-
die eindeutige
Lösung des Anfangswertproblems.
???: Differenzierbare Kurven und Komponenten
???: Mittelwertsatz für differenzierbare Kurven
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein
mit
-
???: Stetig differenzierbar und Rektifizierbarkeit
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
-
eine
stetig differenzierbare
Abbildung.
Dann ist
rektifizierbar
und für die
Kurvenlänge
gilt
-
???: Bogenlänge eines Graphen
Es sei ein
kompaktes
Intervall
und es sei
-
eine
stetig differenzierbare
Funktion.
Dann ist die
Länge
des
Graphen
von gleich
-
???: Eigenschaften der Richtungsableitung
???: Richtungsableitung und Komponenten
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
sei
offen,
ein Punkt und sei
ein Vektor. Es sei
-
eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es sei der
Produktraum
-
aus endlichdimensionalen Vektorräumen . Dann ist genau dann in
differenzierbar in Richtung
, wenn sämtliche Komponentenabbildungen
-
in in Richtung differenzierbar sind. In diesem Fall gilt
-
- Es sei eine
Basis
von mit den
Koordinaten
-
Dann ist in in Richtung genau dann differenzierbar, wenn sämtliche Komponentenfunktionen
-
in in Richtung differenzierbar sind. In diesem Fall ist
-
???: Partielle Ableitung und Richtungsableitung
Es sei
offen,
ein Punkt und sei
-
eine
Abbildung.
Dann ist in genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die -te partielle Ableitung von in mit der
Richtungsableitung
von in in Richtung des -ten Standardvektors überein, und ist in genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
???: Der Satz von Schwarz
???: Differenzierbarkeit und Stetigkeit
???: Differenzierbarkeit und Richtungsableitung
???: Differenzierbarkeit und stetige partielle Ableitungen
Es sei
offen und
eine Abbildung. Es seien
, ,
die Koordinaten von und
ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle
partiellen Ableitungen
von in einer
offenen Umgebung
von existieren und in
stetig
sind.
Dann ist in
(total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der
Standardbasis
des durch die
Koordinatenfunktionen
gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in durch die
Jacobi-Matrix
-
beschrieben.
???: Linearformen und Vektoren
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum, der mit einer
Bilinearform
versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
- Für jeden Vektor
sind die Zuordnungen
-
und
-
-
linear.
- Die Zuordnung
-
ist -linear.
- Wenn
nicht ausgeartet
ist, so ist die Zuordnung in (2)
injektiv.
Ist zusätzlich
endlichdimensional,
so ist diese Zuordnung
bijektiv.
???: Steigungen und Gradient
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
sei
offen
und sei
-
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für jeden Vektor
ist
-
- Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn
linear abhängig
zum
Gradienten
ist.
- Sei
.
Unter allen Vektoren
mit
ist die
Richtungsableitung
in Richtung des normierten Gradienten maximal, und zwar gleich der
Norm
des Gradienten.
???: Extrema und totales Differential
???: Sylvesterscher Trägheitssatz
???: Minorenkriterium für den Typ
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien für
von verschieden. Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist vom
Typ
.
???: Minorenkriterium für Definitheit
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis und es seien die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
Dann gelten folgende Aussagen.
- Genau dann ist
positiv definit,
wenn alle positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit,
wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
???: k-te Ableitung längs einer Geraden
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
eine fixierte Richtung. Es sei
-
wobei ein offenes Intervall um sei mit
für alle
.
Dann ist ebenfalls -mal
stetig differenzierbar,
und es gilt
-
für alle
.
???: Taylor-Formel längs einer Richtung
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare Funktion,
ein Punkt und
derart, dass die Strecke von
nach
ganz in liegt. Dann gibt es ein
mit
-
???: Taylor-Formel
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare
Funktion,
ein Punkt und
derart, dass
ist.
Dann gilt für alle mit
die Beziehung
-
wobei
-
ist.
???: Offenheit der Definitheit
???: Hesse-Form und Extrema
???: Der Banachsche Fixpunktsatz
Es sei ein nicht-leerer
vollständiger
metrischer Raum
und
-
eine
stark kontrahierende
Abbildung.
Dann besitzt genau einen
Fixpunkt.
???: Der Satz über die Umkehrabbildung
???: Der Satz über implizite Abbildungen
???: Der Satz über die injektive Abbildung
???: Differenzierbarkeit und Lipschitz-Bedingung
Es sei
ein
reelles
offenes Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf derart, dass die
partiellen Ableitungen
nach existieren und
stetig
sind.
Dann genügt
lokal einer Lipschitz-Bedingung.
???: Integralabschätzung für stetige Kurven
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
-
???: Differentialgleichung und Integralgleichung
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein stetiges
Vektorfeld
auf . Es sei
vorgegeben.
Dann ist eine
stetige Abbildung
-
auf einem
Intervall
mit
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
(insbesondere muss differenzierbar sein)
-
wenn die Integralgleichung
-
erfüllt.
???: Der Satz von Picard Lindelöf
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
stetig
sei und
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genüge.
Dann gibt es zu jedem
ein
offenes Intervall
mit
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
Lösung für das Anfangswertproblem
-
existiert.
???: Globale Eindeutigkeit von Lösungen
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
-
ein stetiges
Vektorfeld
auf das
lokal einer Lipschitz-Bedingung
genügt. Es sei
ein offenes Teilintervall und es seien
-
Lösungen des Anfangswertproblems
-
Dann ist
.
???: Fasern und Lösungen bei Gradientenfeld
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen,
-
eine
differenzierbare Funktion
und
-
das zugehörige
Gradientenfeld. Es sei
-
eine
Lösung der Differentialgleichung
-
Dann steht
senkrecht
auf dem
Tangentialraum
der
Faser
von durch für
,
für die
reguläre Punkte
von sind.
???: Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme erster Ordnung
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
-
eine
Funktion.
Dann ist die
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
über die Beziehung
-
äquivalent zum
Differentialgleichungssystem
-
???: Trigonalisierbarkeit von linearen Abbildungen
???: Lineares Differentialgleichungssystem über
Es sei
-
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
-
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
-
(mit
)
ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
für
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
???: Lineares Differentialgleichungssystem über
Es sei
-
mit
eine
lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung
, .
Dann gibt es genau eine auf definierte
Lösung
-
für dieses Anfangswertproblem.
???: Struktur der Lösungsmenge eines linearen Differentialgleichungssystems über
Es sei
-
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann ist die Menge der
Lösungen
-
ein
-
dimensionaler
-
Vektorraum.