Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 43/latex

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\setcounter{section}{43}






\zwischenueberschrift{Partielle Ableitungen}

Sei \maabb {f} {{\mathbb K}^n } {{\mathbb K} } {} eine durch
\mathdisp {(x_1, \ldots, x_n) \longmapsto f(x_1, \ldots, x_n)} { }
gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index $i$ die übrigen Variablen $x_j$,
\mathl{j \neq i}{,} als Konstanten, so erhält man eine Abbildung \maabb {} {{\mathbb K}} {{\mathbb K} } {,} die nur von $x_i$ abhängt \zusatzklammer {entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter} {} {.} Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass $f$ \stichwort {partiell differenzierbar} {} bezüglich $x_i$ ist und bezeichnen diese Ableitung mit
\mathl{{ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }}{.} Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von \maabb {} {{\mathbb K}^n} {{\mathbb K} } {.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und sei eine Abbildung \maabb {f} { G} { {\mathbb K}^m } {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f (x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { (f_1 (x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , f_m (x_1 , \ldots , x_n)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Für fixierte Indizes $i$ und $j$ betrachten wir die Abbildung \maabbeledisp {} {I} { {\mathbb K} } {x_i} { f_j(a_1 , \ldots , a_{i-1}, x_i, a_{i+1} , \ldots , a_n ) } {,} \zusatzklammer {wobei $I$ ein reelles Intervall \zusatzklammer {bzw. eine offene Kreisscheibe} {} {} mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a_i }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart sei, dass
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \{(a_1 , \ldots , a_{i-1}) \} \times I \times \{(a_{i+1} , \ldots , a_{n}) \} }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt} {} {} als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
\mathbed {a_k} {}
{k \neq i} {}
{} {} {} {,} fixiert seien. Ist diese Funktion in $a_i$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{,} so heißt $f_j$ \definitionswort {partiell differenzierbar}{} in $P$ bezüglich der Koordinate $x_i$. Man bezeichnet diese Ableitung \zusatzklammer {welche ein Element in ${\mathbb K}$ ist} {} {} mit
\mathdisp {{ \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P)} { }
und nennt sie die $i$-te \definitionswort {partielle Ableitung}{} von $f_j$ in $P$.

Die Abbildung $f$ heißt \definitionswort {partiell differenzierbar}{} im Punkt $P$, falls für alle $i$ und $j$ die partiellen Ableitungen in $P$ existieren. Die $i$-te partielle Ableitung von $f$ in $P$ wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } } (P) }
{ \defeq} { { \left( { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) , \ldots , { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (P)\right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bezeichnet.

}

Diese Definition führt die $i$-te partielle Ableitung einer Funktion \maabb {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen \anfuehrung{festgehalten}{} und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der $i$-ten partiellen Ableitung von $f$ im Punkt
\mathl{(a_1 , \ldots , a_n)}{} einfach die Existenz des Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0 } \, { \frac{ f(a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_i+s,a_{i+1} , \ldots , a_n) -f(a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_i,a_{i+1} , \ldots , a_n) }{ s } }} { . }

Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein
\mathl{{\mathbb K}^n}{} betrachtet wird.





\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei \maabbeledisp {f} { G} { {\mathbb K}^m } {(x_1 , \ldots , x_n)} {f (x_1 , \ldots , x_n) = (f_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , f_m(x_1 , \ldots , x_n)) } {,} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ in $P$ genau dann \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{,} wenn die \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} von sämtlichen Komponentenfunktionen $f_j$ in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.}
\faktzusatz {In diesem Fall stimmt die $i$-te partielle Ableitung
\mathl{{ \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P)}{} von $f$ in $P$ mit der \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
\mathl{{ \left( D_{e_i} f_j \right) } { \left( P \right) }}{} von $f_j$ in $P$ in Richtung des $i$-ten Standardvektors $e_i$ überein, und $f$ ist in $P$ genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in $P$ in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(a_1 , \ldots , a_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir können uns wegen Fakt ***** auf eine einzige Komponentenfunktion $f_j$ beschränken. Da \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von Funktionen in einer Variablen sind, ergibt sich
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P) }
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s \neq 0 } \, \frac{ f_j(a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_i + s, a_{i+1} , \ldots , a_n) - f_j(a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_i, a_{i+1} , \ldots , a_n) } { s } }
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s \neq 0 } \, \frac{ f_j( P +s e_i) - f_j(P) } { s } }
{ =} { { \left( D_{e_i} f_j \right) } { \left( P \right) } }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} { G} {{\mathbb K}^m } {(x_1 , \ldots , x_n)} { f (x_1 , \ldots , x_n) = (f_1 (x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , f_m(x_1 , \ldots , x_n)) } {,} gegeben. Dann heißt $f$ \definitionswort {partiell differenzierbar}{,} wenn $f$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist. In diesem Fall heißt die Abbildung \maabbeledisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }} { G } { {\mathbb K}^m } {P} { { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } } (P) = { \left( { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) , \ldots , { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (P) \right) } } {,} die $i$-te \definitionswort {partielle Ableitung}{} von $f$.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} { G} { {\mathbb K} ^m } {(x_1 , \ldots , x_n)} {f(x_1 , \ldots , x_n) = (f_1 (x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , f_m(x_1 , \ldots , x_n)) } {,} gegeben, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} sei. Dann heißt die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Jak}(f )_P }
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{1} }{ \partial x_{n} } } (P) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_1 } } (P) & \ldots & { \frac{ \partial f_{m} }{ \partial x_{n} } } (P) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Jacobi-Matrix}{} zu $f$ im Punkt $P$.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabb {f} {{\mathbb K}^3} {{\mathbb K}^2 } {,} die durch
\mathdisp {(x,y,z) \longmapsto { \left( xy^2-z^3, \sin (xy) + x^2 \cdot \exp z \right) } =(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z) )} { }
gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von $f_1$ sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f_1 }{ \partial x } } = y^2, \, { \frac{ \partial f_1 }{ \partial y } } = 2xy, \, { \frac{ \partial f_1 }{ \partial z } } = -3z^2} { , }
und die partiellen Ableitungen von $f_2$ sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f_2 }{ \partial x } } = y \cos (xy) + 2x \cdot \exp z, \,{ \frac{ \partial f_2 }{ \partial y } } = x \cdot \cos (xy) , \,{ \frac{ \partial f_2 }{ \partial z } } = x^2 \cdot \exp(z)} { . }
Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(x,y,z) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} y^2 & 2xy & -3z^2 \\ y \cos(xy) + 2x \exp (z) & x \cos (xy) & x^2 \exp(z) \end{pmatrix}} { . }
Für einen speziellen Punkt, z.B.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(2,1,3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} setzt man einfach ein:
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 4 & -27 \\ \cos (2) + 4 \exp(3) & 2 \cos (2) & 4 \exp (3) \end{pmatrix}} { . }


}






\zwischenueberschrift{Höhere Richtungsableitungen}

Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb K}$-Vektorräume und
\mathl{G \subseteq V}{} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung \maabb {\varphi} { G } { W } {} und einen fixierten Vektor
\mathl{v \in V}{} ist die Richtungsableitung in Richtung $v$ \zusatzklammer {falls diese existiert} {} {} selbst eine Abbildung \maabbeledisp {D_{ v}\varphi} {G} {W } {P} { { \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( P \right) } } {.} Als solche macht es Sinn zu fragen, ob
\mathl{D_{ v}\varphi}{} in Richtung
\mathl{v \in V}{} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von \stichwort {höheren Ableitungen} {.} Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.


\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} \maabbdisp {f} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} Vektoren in $V$. Man sagt, dass die \definitionswort {höhere Richtungsableitung}{} von $f$ in Richtung
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n-1}}{} existiert und davon die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in Richtung $v_n$ existiert. Sie wird mit
\mathdisp {D_{ v_n}(... (D_{ v_2} (D_{ v_1}f )) \ldots )} { }
bezeichnet.

}




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man sagt, dass $f$ $n$-mal \definitionswort {stetig differenzierbar}{} ist, wenn für jede Auswahl
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} von $n$ Vektoren aus $V$ die \definitionsverweis {höhere Richtungsableitung}{}{}
\mathdisp {D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}f) \ldots)} { }
in Richtung
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} existiert und \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

} Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung
\mathl{D_{ v}\varphi}{} in jede Richtung
\mathl{v \in V}{} existiert und stetig ist.






\zwischenueberschrift{Der Satz von Schwarz}

Der folgende Satz heißt \stichwort {Satz von Schwarz} {} \zusatzklammer {oder auch \stichwort {Satz von Clairaut} {}} {} {.}





\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und \maabb {\varphi} {G} {W } {} eine Abbildung,}
\faktvoraussetzung {so dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die zweiten Richtungsableitungen
\mathl{D_{ v} D_{ u}\varphi}{} und
\mathl{D_{ u} D_{ v}\varphi}{} existieren und stetig sind.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v} D_{ u}\varphi }
{ =} { D_{ u} D_{ v}\varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von $\varphi$ bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von $W$ können wir annehmen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung
\mathl{(s,t) \mapsto \varphi(P+su+tv )}{} und studieren diese für hinreichend kleine $s$ und $t$. Wir fixieren diese \zusatzklammer {für den Moment} {} {} und betrachten die differenzierbare Abbildung
\mathdisp {\sigma \longmapsto \varphi(P+\sigma u + tv) - \varphi(P + \sigma u)} { . }
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein \zusatzklammer {von $s$ und $t$ abhängiges} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 }
{ \in }{ {]0,s[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \varphi(P+su+tv)-\varphi(P+su)-\varphi(P+tv)+\varphi(P) }
{ =} { s \cdot ({ \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + t v \right) } - { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u \right) }) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung
\mathdisp {\tau \longmapsto { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + \tau v \right) }} { }
an, und erhalten die Existenz eines
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 }
{ \in }{ {]0,t[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u + t v \right) }- { \left( D_{u} \varphi \right) } { \left( P+s_1 u \right) } }
{ =} { t \cdot { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zusammen erhalten wir
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \varphi(P + su + tv) - \varphi(P + su) - \varphi(P+tv)+\varphi(P) }
{ =} {st \cdot { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir \mathkor {} {s_2} {und} {t_2} {,} so dass dieser Ausdruck auch gleich
\mathdisp {st \cdot { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P+s_2 u+t_2 v \right) }} { }
ist. Somit schließen wir für \zusatzklammer {hinreichend kleine} {} {} gegebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s,t }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass positive
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1,s_2 }
{ \leq }{ s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1,t_2 }
{ \leq }{ t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existieren mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P+s_1u+t_1v \right) } }
{ =} { { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P+s_2u+t_2v \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mathl{s \rightarrow 0}{} und
\mathl{t \rightarrow 0}{} konvergieren auch
\mathl{s_1, s_2,t_1}{} und $t_2$ gegen $0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für
\mathl{s,t \rightarrow 0}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} D_{ u}\varphi \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { { \left( D_{u} D_{ v}\varphi \right) } { \left( P \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Höhere Differenzierbarkeit/K/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine}
\faktvoraussetzung {$n$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für jede \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma }
{ \in }{S_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi )) }
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi )) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 43.9. }



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