Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 45/latex

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\setcounter{section}{45}






\zwischenueberschrift{Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen}

Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen.

Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.





\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} und}
\faktvoraussetzung {\maabb {\varphi} {G} {W } {} eine im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$ in jede Richtung $v$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{,} und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} \varphi \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Da
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} von $V$ nach $W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen Vektor in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } }
{ \in }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Voraussetzung haben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+v) }
{ =} { \varphi(P)+ { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \Vert {v} \Vert \cdot r(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit den \definitionsverweis {üblichen Bedingungen}{}{} an $r$} {} {.} Insbesondere gilt für \zusatzklammer {hinreichend kleines} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(P+sv) }
{ =} { \varphi(P)+ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{\varphi(P + sv) - \varphi(P) } { s } }
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \frac{ s { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + \betrag { s } \cdot \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) } { s } }
{ =} { \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0, s\neq 0 } \, \left( { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } + { \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert \cdot r(sv) \right) }
{ =} { { \left( D\varphi \right) }_{P} { \left( v \right) } }
{ } {}
} {} {}{,} da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ s \rightarrow 0 } \, r(sv) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ \betrag { s } }{ s } } \Vert {v} \Vert}{} beschränkt ist.

}


Vor dem Beweis der nächsten Aussage erinnern wir an den Mittelwertsatz für Kurven: Sei \maabb {h} {[a,b]} {{\mathbb K}^n } {} differenzierbar. Dann existiert ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mathdisp {\Vert {h(b)-h(a)} \Vert \leq (b-a) \Vert {h'(c)} \Vert} { . }





\inputfaktbeweis
{Differenzierbarkeit/K/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und \maabb {\varphi} {G} {{\mathbb K}^m } {} eine Abbildung. Es seien
\mathbed {x_i} {}
{i = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} die Koordinaten von ${\mathbb K}^n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt.}
\faktvoraussetzung {Es sei angenommen, dass alle \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} von $\varphi$ in einer \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{} von $P$ existieren und in $P$ \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ in $P$ \definitionsverweis {(total) differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {Ist die Abbildung $\varphi$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} des ${\mathbb K}^m$ durch die \definitionsverweis {Koordinatenfunktionen}{}{}
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in $P$ durch die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( { \frac{ \partial f_j }{ \partial x_i } } (P) \right) }_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}} { }
beschrieben.}
\faktzusatz {}

}
{

Indem wir $G$ durch eine eventuell kleinere offene Umgebung von $P$ ersetzen, können wir annehmen, dass auf $G$ die Richtungsableitungen
\mathdisp {Q \longmapsto (D_i \varphi)(Q) \defeq { \left( D_{e_i } \varphi \right) } { \left( Q \right) } = \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (Q) \\\vdots\\ { \frac{ \partial f_m }{ \partial x_i } } (Q) \end{pmatrix} \in {\mathbb K}^m} { }
existieren und in $P$ stetig sind. Daher ist nach Proposition 45.1 die lineare Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}^m } {v = (v_1 , \ldots , v_n) } { \sum_{i = 1}^n v_i (D_i\varphi)(P) } {,} der einzige Kandidat für das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.} Daher müssen wir zeigen, dass diese \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} die \definitionsverweis {definierende Eigenschaft}{}{} des totalen Differentials besitzt. Setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i }
{ \defeq }{P+ v_1 e_1 + \cdots + v_i e_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {abhängig von $v$} {} {.} Dann gelten mit dem Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r(v) }
{ \defeq} { { \frac{ \varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P) }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {für $v$ hinreichend klein} {} {} die Abschätzungen
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert {r(v)} \Vert }
{ =} { { \frac{ \Vert {\varphi(P+v) - \varphi(P) - \sum_{i = 1}^n v_i(D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ =} { { \frac{ \Vert {\sum_{i = 1}^n (\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P))} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ =} { \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i) - \varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } }
} {} {}{.} Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes $i$ ist die Abbildung \zusatzklammer {die auf dem Einheitsintervall definiert ist} {} {}
\mathdisp {h_i: s \longmapsto \varphi(P_{i-1} + s v_i e_i) - s v_i (D_i(\varphi))(P)} { }
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{} \zusatzklammer {aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf $G$} {} {} mit der Ableitung
\mathdisp {s \longmapsto v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + s v_i e_i) - v_i(D_i(\varphi))(P)} { . }
Nach der Mittelwertabschätzung existiert eine reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { c_i }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass \zusatzklammer {dies ist die Norm von \mathlk{h_i(1)-h_i(0)}{}} {} {}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \Vert {\varphi(P_{i-1} + v_i e_i)-\varphi(P_{i-1}) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }
{ \leq} { \Vert {v_i (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - v_i (D_i(\varphi))(P)} \Vert }
{ =} { \betrag { v_i } \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }
{ \leq} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert { (D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }
{ } { }
} {}{}{} gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck
\mathl{\Vert {r(v)} \Vert}{} nach oben \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist durch
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \sum_{i = 1}^n { \frac{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert } } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \Vert {(D_i(\varphi))(P_{i-1} + c_i v_i e_i) - (D_i(\varphi))(P)} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da die partiellen Ableitungen
\mathl{D_i(\varphi)}{} stetig in $P$ sind, wird die Summe rechts mit $v$ beliebig klein, da dann
\mathl{P_{i-1} + c_iv_i e_i}{} gegen $P$ konvergiert. Also ist der Grenzwert für
\mathl{v \rightarrow 0}{} gleich $0$.

}





\inputfaktbeweis
{Polynomfunktionen/K/Total differenzierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {Polynomfunktionen}{}{}}
\faktfolgerung {sind \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Fakt ***** und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen und daher nach Fakt ***** \definitionsverweis {stetig}{}{} sind.

}


Zu einer reellwertigen Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {} interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen \zusatzklammer {falls diese existieren} {} {} erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von \mathkor {} {V} {nach} {{\mathbb K}} {.} Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {V } {K } {} heißt eine \definitionswort {Linearform}{} auf $V$.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dann heißt der \definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * } }
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionswort {Dualraum}{} zu $V$.

}

Wenn
\mathl{G \subseteq {\mathbb K}^n}{} ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in G}{} eine Matrix mit einer einzigen Zeile, die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso auch als ein $n$-Tupel in ${\mathbb K}$ und damit als einen Vektor in
\mathl{{\mathbb K}^n}{} auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des ${\mathbb K}^n$, und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen. Bilinearformen haben wir in Zusammenhang mit multilinearen Abbildungen und Skalarprodukten kennengelernt, sie sind spezielle \definitionsverweis {multilineare Abbildungen}{}{.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine Abbildung \maabbeledisp {} {V \times V } {K } {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle } {,} heißt \definitionswort {Bilinearform}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die induzierten Abbildungen \maabbeledisp {} {V} {K } {w} { \left\langle v , w \right\rangle } {,} und für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die induzierten Abbildungen \maabbeledisp {} {V} {K } {v} { \left\langle v , w \right\rangle } {,} $K$-\definitionsverweis {linear}{}{} sind.

}

Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} \maabbeledisp {} {V \times V } {K } {(v,w)} {\left\langle v , w \right\rangle } {,} heißt \definitionswort {nicht ausgeartet}{,} wenn für alle
\mathl{v \in V, \, v \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen \maabbeledisp {} {V} {K } {w} { \left\langle v , w \right\rangle } {,} und für alle
\mathl{w \in V,\, w \neq 0}{,} die induzierten Abbildungen \maabbeledisp {} {V} {K } {v} { \left\langle v , w \right\rangle } {,} nicht die \definitionsverweis {Nullabbildung}{}{} sind.

}

In der nächsten Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen und damit einen Zusammenhang zwischen dem totalen Differential zu einer Funktion in einem Punkt und einem Vektor, dem sogenannten Gradienten der Funktion in diesem Punkt, herstellen.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schoenberg-ebringen-isohypsen.eps} }
\end{center}
\bildtext {In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert.} }

\bildlizenz { Schoenberg-ebringen-isohypsen.png } {} {W-j-s} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {G} { {\mathbb K} } {,} wobei $G$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} sei, nennt man zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N_c }
{ =} { { \left\{ x \in G \mid f(x) = c \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {Niveaumenge}{} zu $f$ zum Wert $c$.

}



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