Totale Differenzierbarkeit und partielle Ableitungen Im Folgenden wollen wir den Zusammenhang zwischen Richtungsableitungen, partiellen Ableitungen und dem totalen Differential verstehen.
Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit.
Da
(
D
φ
)
P
{\displaystyle {}\left(D\varphi \right)_{P}}
lineare Abbildung
von
V
{\displaystyle {}V}
W
{\displaystyle {}W}
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
(
D
φ
)
P
(
v
)
∈
W
{\displaystyle {}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W}
φ
(
P
+
v
)
=
φ
(
P
)
+
(
D
φ
)
P
(
v
)
+
‖
v
‖
⋅
r
(
v
)
{\displaystyle {}\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,}
(mit den
üblichen Bedingungen
an
r
{\displaystyle {}r}
s
∈
K
{\displaystyle {}s\in {\mathbb {K} }}
φ
(
P
+
s
v
)
=
φ
(
P
)
+
s
(
D
φ
)
P
(
v
)
+
|
s
|
⋅
‖
v
‖
⋅
r
(
s
v
)
.
{\displaystyle {}\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.}
Also gilt
lim
s
→
0
,
s
≠
0
φ
(
P
+
s
v
)
−
φ
(
P
)
s
=
lim
s
→
0
,
s
≠
0
s
(
D
φ
)
P
(
v
)
+
|
s
|
⋅
‖
v
‖
⋅
r
(
s
v
)
s
=
lim
s
→
0
,
s
≠
0
(
(
D
φ
)
P
(
v
)
+
|
s
|
s
‖
v
‖
⋅
r
(
s
v
)
)
=
(
D
φ
)
P
(
v
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}}
da
lim
s
→
0
r
(
s
v
)
=
0
{\displaystyle {}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0}
|
s
|
s
‖
v
‖
{\displaystyle {}{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert }
◻
{\displaystyle \Box }
h
:
[
a
,
b
]
→
K
n
{\displaystyle {}h\colon [a,b]\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}}
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}c\in [a,b]}
‖
h
(
b
)
−
h
(
a
)
‖
≤
(
b
−
a
)
‖
h
′
(
c
)
‖
.
{\displaystyle \Vert {h(b)-h(a)}\Vert \leq (b-a)\Vert {h'(c)}\Vert .}
Es sei
G
⊆
K
n
{\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}}
φ
:
G
→
K
m
{\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow {\mathbb {K} }^{m}}
x
i
{\displaystyle {}x_{i}}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}
K
n
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{n}}
P
∈
G
{\displaystyle {}P\in G}
partiellen Ableitungen
von
φ
{\displaystyle {}\varphi }
offenen Umgebung
von
P
{\displaystyle {}P}
P
{\displaystyle {}P}
stetig
sind.
Dann ist
φ
{\displaystyle {}\varphi }
P
{\displaystyle {}P}
(total) differenzierbar .
Ist die Abbildung
φ
{\displaystyle {}\varphi }
Standardbasis
des
K
m
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{m}}
Koordinatenfunktionen
f
1
,
…
,
f
m
{\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{m}}
P
{\displaystyle {}P}
Jacobi-Matrix
(
∂
f
j
∂
x
i
(
P
)
)
1
≤
i
≤
n
,
1
≤
j
≤
m
{\displaystyle {\left({\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}}
beschrieben.
Indem wir
G
{\displaystyle {}G}
P
{\displaystyle {}P}
G
{\displaystyle {}G}
Q
⟼
(
D
i
φ
)
(
Q
)
:=
(
D
e
i
φ
)
(
Q
)
=
(
∂
f
1
∂
x
i
(
Q
)
⋮
∂
f
m
∂
x
i
(
Q
)
)
∈
K
m
{\displaystyle Q\longmapsto (D_{i}\varphi )(Q):={\left(D_{e_{i}}\varphi \right)}{\left(Q\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}\in {\mathbb {K} }^{m}}
existieren und in
P
{\displaystyle {}P}
Proposition 45.1
die lineare Abbildung
K
n
⟶
K
m
,
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
⟼
∑
i
=
1
n
v
i
(
D
i
φ
)
(
P
)
,
{\displaystyle {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{m},\,v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}\varphi )(P),}
der einzige Kandidat für das
totale Differential .
Daher müssen wir zeigen, dass diese
lineare Abbildung
die
definierende Eigenschaft
des totalen Differentials besitzt. Setze
P
i
:=
P
+
v
1
e
1
+
⋯
+
v
i
e
i
{\displaystyle {}P_{i}:=P+v_{1}e_{1}+\cdots +v_{i}e_{i}}
v
{\displaystyle {}v}
r
(
v
)
:=
φ
(
P
+
v
)
−
φ
(
P
)
−
∑
i
=
1
n
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
v
‖
{\displaystyle {}r(v):={\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}{\Vert {v}\Vert }}\,}
(für
v
{\displaystyle {}v}
‖
r
(
v
)
‖
=
‖
φ
(
P
+
v
)
−
φ
(
P
)
−
∑
i
=
1
n
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
‖
v
‖
=
‖
∑
i
=
1
n
(
φ
(
P
i
)
−
φ
(
P
i
−
1
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
)
‖
‖
v
‖
≤
∑
i
=
1
n
‖
φ
(
P
i
)
−
φ
(
P
i
−
1
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
‖
v
‖
=
∑
i
=
1
n
‖
φ
(
P
i
−
1
+
v
i
e
i
)
−
φ
(
P
i
−
1
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {r(v)}\Vert &={\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-\sum _{i=1}^{n}v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&={\frac {\Vert {\sum _{i=1}^{n}(\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P))}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}.\end{aligned}}}
Wir betrachten jeden Summanden einzeln. Für fixiertes
i
{\displaystyle {}i}
h
i
:
s
⟼
φ
(
P
i
−
1
+
s
v
i
e
i
)
−
s
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
{\displaystyle h_{i}:s\longmapsto \varphi (P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-sv_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}
differenzierbar
(aufgrund der Existenz der partiellen Ableitungen auf
G
{\displaystyle {}G}
s
⟼
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
s
v
i
e
i
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
.
{\displaystyle s\longmapsto v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+sv_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P).}
Nach der
Mittelwertabschätzung
existiert eine reelle Zahl
0
≤
c
i
=
1
,
{\displaystyle {}0\leq c_{i}=1\,,}
so dass
(dies ist die Norm von
h
i
(
1
)
−
h
i
(
0
)
{\displaystyle h_{i}(1)-h_{i}(0)}
‖
φ
(
P
i
−
1
+
v
i
e
i
)
−
φ
(
P
i
−
1
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
≤
‖
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
)
−
v
i
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
=
|
v
i
|
⋅
‖
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
)
−
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
≤
‖
v
‖
⋅
‖
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
)
−
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {\varphi (P_{i-1}+v_{i}e_{i})-\varphi (P_{i-1})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert &\leq \Vert {v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-v_{i}(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&=\vert {v_{i}}\vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\&\leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \,\end{aligned}}}
gilt. Aufsummieren liefert also, dass unser Ausdruck
‖
r
(
v
)
‖
{\displaystyle {}\Vert {r(v)}\Vert }
beschränkt
ist durch
∑
i
=
1
n
‖
v
‖
⋅
‖
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
)
−
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
‖
v
‖
≤
∑
i
=
1
n
‖
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
)
−
(
D
i
(
φ
)
)
(
P
)
‖
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}&\leq \sum _{i=1}^{n}\Vert {(D_{i}(\varphi ))(P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i})-(D_{i}(\varphi ))(P)}\Vert \\\,\end{aligned}}}
Da die partiellen Ableitungen
D
i
(
φ
)
{\displaystyle {}D_{i}(\varphi )}
P
{\displaystyle {}P}
v
{\displaystyle {}v}
P
i
−
1
+
c
i
v
i
e
i
{\displaystyle {}P_{i-1}+c_{i}v_{i}e_{i}}
P
{\displaystyle {}P}
v
→
0
{\displaystyle {}v\rightarrow 0}
0
{\displaystyle {}0}
◻
{\displaystyle \Box }
Dies folgt aus
Fakt *****
und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen und daher nach
Fakt *****
stetig
sind.
◻
{\displaystyle \Box }
f
:
G
⟶
R
{\displaystyle f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} }
interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen
(falls diese existieren) erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von
V
{\displaystyle {}V}
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
Wenn
G
⊆
K
n
{\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}}
P
∈
G
{\displaystyle {}P\in G}
n
{\displaystyle {}n}
K
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }}
K
n
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{n}}
K
n
{\displaystyle {}{\mathbb {K} }^{n}}
multilineare Abbildungen .
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
Körper
und
V
{\displaystyle {}V}
K
{\displaystyle {}K}
Vektorraum . Eine Abbildung
V
×
V
⟶
K
,
(
v
,
w
)
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
heißt Bilinearform , wenn für alle
v
∈
V
{\displaystyle {}v\in V}
V
⟶
K
,
w
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
und für alle
w
∈
V
{\displaystyle {}w\in V}
V
⟶
K
,
v
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
K
{\displaystyle {}K}
linear
sind.
Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
Körper
und
V
{\displaystyle {}V}
K
{\displaystyle {}K}
Vektorraum . Eine
Bilinearform
V
×
V
⟶
K
,
(
v
,
w
)
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
heißt nicht ausgeartet , wenn für alle
v
∈
V
,
v
≠
0
{\displaystyle {}v\in V,\,v\neq 0}
V
⟶
K
,
w
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
und für alle
w
∈
V
,
w
≠
0
{\displaystyle {}w\in V,\,w\neq 0}
V
⟶
K
,
v
⟼
⟨
v
,
w
⟩
,
{\displaystyle V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}
nicht die
Nullabbildung
sind.
In der nächsten Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen und damit einen Zusammenhang zwischen dem totalen Differential zu einer Funktion in einem Punkt und einem Vektor, dem sogenannten Gradienten der Funktion in diesem Punkt, herstellen.
In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert.
![{\displaystyle {}h\colon [a,b]\rightarrow {\mathbb {K} }^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1286fba85ebe4f45109c5e01888c67a5e52dd9b3)
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
