Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben/latex
\setcounter{section}{}
\zwischenueberschrift{Zusatzaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Eine $n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch
\mathl{a -1}{} Längsrillen und
\mathl{b-1}{} Querrillen in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{a \cdot b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a,b
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten
\zusatzklammer {an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade} {} {,}
deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer $n$-Schokolade aus genau
\mathl{n-1}{} Teilungsschritten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathbed {M} {und}
{N} {}
{} {} {} {}
Mengen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(x)
}
{ = }{ { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\{x \} \times T(x)}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M} { }
über $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{4x^2+2x+3}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
und die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathdisp {\frac{ X }{ (X+2)(X+1)(X-1)(X-2) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (\sqrt{1+t^2})^3 } } \, d t} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {
\mathl{y>0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { t^5 y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit dem
Lösungsansatz für getrennte Variablen.
Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige die
Kettenregel
anhand der beiden Abbildungen
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3
} {(u,v)} {(u^2v^2,u+ \sin v,v^3)
} {,}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2
} {(x,y,z)} {(x^2y-z^2,xy^2 +yz \exp x )
} {,}
und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} in folgenden Schritten.
\aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.}
}{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb K}^3}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
}{Berechne explizit die Komposition
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} ^2
} {.}
}{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {.}
}{Berechne das totale Differential von
\maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {4x^2-xy+5y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {\R^2 \setminus \{ (0,0) \} } {(u,v)} { \left( { \frac{ -u }{ u^2+v^2 } } , \, { \frac{ -v }{ u^2+v^2 } } \right) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {(x,y,z)} {( \sin xy ,yz \cos \left( x^2 \right) ,e^{xyz})
} {.}
Zeige, dass $\varphi$ im Punkt
\mathl{P=(1, \pi,1)}{}
\definitionsverweis {lokal umkehrbar}{}{}
ist, und bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
im Punkt
\mathl{Q=\varphi(P)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R
} {t} {1-t^2
} {.}
Für welche
\mathbed {x,y \in [0,1]} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,}
besitzt die zugehörige dreistufige
\zusatzklammer {maximale} {} {}
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{}
zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R^2
} {t} { \left( t^3 , \, e^t \right)
} {.}
Bestimme einen
\definitionsverweis {Kreis}{}{}
\zusatzklammer {mit Mittelpunkt und Radius} {} {}
und eine
\definitionsverweis {Parametrisierung}{}{}
$\psi$ dieses Kreises derart, dass $\psi$ und $\varphi$ für
\mathl{t=1}{} bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.