Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt

Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Es sei

${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

und

$h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

wobei ${}h$ keine Nullstelle besitze. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{h}}$. Weiter sei ${}I'\subseteq I$ ein Teilintervall mit ${}G(I')\subseteq H(J)$.

Dann ist ${}H$ eine bijektive Funktion auf sein Bild ${}H(J)$ und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,.$

Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung

$y(t_{0})=y_{0}{\text{ mit }}(t_{0},y_{0})\in I\times J$

gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften ${}G(t_{0})=0$ und ${}H(y_{0})=0$ erfüllen, so ist

${}y(t)=H^{-1}(G(t))\,$

die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen