Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt

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Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Es sei

eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit

stetigen Funktionen

und

wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Weiter sei ein Teilintervall mit .

Dann ist eine bijektive Funktion auf sein Bild und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung

gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften und erfüllen, so ist

die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen