Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 72/latex

\setcounter{section}{72}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0 } } {} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N}{}} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {messbaren numerischen Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \sum_{n = 0}^\infty f_n \, d \mu }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \int_{ M } f_n \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { x^3-yx^2+7 \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne die Integrale zum Parameter
\mathl{y \in [0,\pi]}{} über
\mathl{x \in [0,1]}{} und zum Parameter
\mathl{x \in [0,1]}{} über
\mathl{y \in [0,\pi ]}{.} Bestimme jeweils die extremalen Integrale.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein \zusatzklammer {eventuell unbeschränktes} {} {} Intervall und es sei \maabbdisp {f} { ]a,b[ } {\R } {} eine nichtnegative \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} gleich dem \definitionsverweis {Lebesgue-Integral}{}{}
\mathl{\int_{ ]a,b[ } f \, d \lambda}{} \zusatzklammer {also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen} {} {} ist.

}
{} {}

Mit der vorstehenden Aufgabe ist jetzt die folgende Klausuraufgabe (zu Mathematik II) einfach zu lösen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der \definitionsverweis {Limes inferior}{}{,} was der \definitionsverweis {Limes superior}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {\R } {x} {f_n(x) = x^n } {,} die zugehörigen \definitionsverweis {Integrale}{}{,} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Integrale, die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} und das Integral der Grenzfunktion.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Limes inferior}{}{} und den \definitionsverweis {Limes superior}{}{} der \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ = }{ \sin (nx) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{[0, \pi]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \geq }{ \betrag { f_n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{}
\mathl{\operatorname{Fak} \, (x)}{} beliebig oft \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit den Ableitungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ \infty } ( \ln t)^n t^x e^{-t} \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}