Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 72

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei

() eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Es sei

Berechne die Integrale zum Parameter über und zum Parameter über . Bestimme jeweils die extremalen Integrale.


Aufgabe

Es sei ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei

eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral gleich dem Lebesgue-Integral (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.


Mit der vorstehenden Aufgabe ist jetzt die folgende Klausuraufgabe (zu Mathematik II) einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der Folge . Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionenfolge

die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.


Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge auf .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante nicht gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen



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