Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/31/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 6 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Primzahl} {.}
}{Der \stichwort {Betrag} {} einer reellen Zahl.
}{Die \stichwort {eulersche Zahl} {} $e$.
}{Die \stichwort {Taylor-Reihe} {} im Punkt $a$ zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion $f$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{}
\mathl{n \geq 2}{} heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von ihr $1$ und $n$ sind.
}{Für eine reelle Zahl
\mathl{x \in \R}{} ist der Betrag folgendermaßen definiert.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ =} { \begin{cases} x, \text{ falls } x \geq 0 \, , \\ -x, \text{ falls } x < 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Die eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Die Teilmenge
\mathl{U \subseteq V}{} heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{0 \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u,v \in U}{}
ist auch
\mathl{u+v \in U}{.}
}{Mit
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{s \in K}{} ist auch
\mathl{s u \in U}{.} }
}{Ein Element
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt ein Eigenvektor von $\varphi$,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{\lambda \in K}{} gilt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das Induktionsprinzip für Aussagen.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für jede natürliche Zahl
$n$ sei eine Aussage
\mathl{A(n)}{} gegeben. Es gelte
\aufzaehlungzwei {$A(0)$ ist wahr.
} {Für alle $n$ gilt: wenn
\mathl{A(n)}{} gilt, so ist auch
\mathl{A(n+1)}{} wahr.
}
Dann gilt
\mathl{A(n)}{} für alle $n$.}{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \defeq} { \sum _{ n= 0}^\infty a_n x^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall
\mathl{]- r,r[}{} konvergiere und dort die Funktion
\maabb {f} {]-r,r[ } {\R
} {}
darstellt.
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{g}(x)
}
{ \defeq} { \sum_{n = 1}^\infty n a_n x^{n-1}
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
auf
\mathl{]-r,r[}{} konvergent. Die Funktion $f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { \tilde{ g}(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+1+1)}
{
Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge $20$ cm und mit einem Durchmesser von $3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke $0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe $2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke
\mathl{0,5}{} mm.
\aufzaehlungdrei{Wer verwendet mehr Butter?
}{Wie viel Butter verwendet Lucy?
}{Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine
\mathl{250}{} Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche
\zusatzklammer {in Quadratzentimetern} {} {}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{20 \cdot 3
}
{ =} {60
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{20 : 2{,}5
}
{ = }{8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat Heidi $8$ Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8 \cdot \pi \cdot 1{,}5^2
}
{ =} { 8 \cdot 2{,}25 \cdot \pi
}
{ =} { 18 \cdot \pi
}
{ \leq} { 18 \cdot 3{,}2
}
{ =} { 57{,}6
}
}
{}{}{.}
Lucy verwendet also mehr Butter.
}{Lucy verwendet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{60 \cdot 0{,}05
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{250 : 3
}
{ =} { 83{,}33..
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
Lucy kann also $83$ Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben.
\anfuehrung{Es sei $A(n)$ die Aussage, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt
\mathl{n+1}{} Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden $n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese
\mathl{n+1}{} Pferde überhaupt die gleiche Farbe}{.} Analysiere diese Argumentation.
}
{Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}
}
{ =} { 5^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
{ =} { { \left( 5^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } \cdot { \left( 7^2 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } }
}
{ =} { 125^{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 49^{ \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { 6125^{ \frac{ 1 }{ 6 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[6]{6125}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ die
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
Elemente, also Polynome $P$, für die es ein weiteres Polynom $Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{PQ
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sind genau die konstanten Polynome
\mathbed {a} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {}
invertierbar. Wegen
\mathl{a \in K}{} besitzen diese ein Inverses. Das Nullpolynom ist sicher nicht invertierbar. Es sei nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_nX^n + \cdots + a_1X+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt für jedes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Polynom
\mathdisp {PQ} { }
einen Grad
\mathl{\geq 1}{,} ist also nicht $1$
\zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P \cdot 0
}
{ = }{ 0
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist?
}
{
Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n} -x_{n-1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach
Beispiel 9.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{ \frac{x^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{x^n}{n!} } }
}
{ =} { \betrag { \frac{x}{n+1} }
}
{ =} { \frac{ \betrag { x } }{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2 \betrag { x }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kleiner als
\mathl{1/2}{.} Aus dem
Quotientenkriterium
folgt daher die
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3-5x^2-x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- { \left( (-2)^3 -5 \cdot (-2)^2 -(-2) +2 \right) } }
}
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- (-2)^3 +5 \cdot (-2)^2 -2 -2 }
}
{ =} { \betrag { x^3- (-2)^3 -5 { \left( x^2 - (-2)^2 \right) } -x-2 }
}
{ \leq} { \betrag { x^3- (-2)^3 } +5 \betrag { x^2 - (-2)^2 } + \betrag { x+2 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + 5 \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x-2 } + \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x-2 } + { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { 9 +6 +4 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot 5 + { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ =} { { \frac{ 45 }{ 1000 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die \stichwort {Produktregel} {} für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
}
{
Wir gehen von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{f(x) g(x)
}
{ =} { ( f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) ) ( g(a) + \tilde{s} (x-a) + \tilde{r}(x) (x-a) )
}
{ =} { f(a)g(a) + ( sg(a) + \tilde{s} f(a)) (x-a)
}
{ \, \, \, \, \,} {+ ( f(a) \tilde{r}(x) + g(a)r(x) + s \tilde{s} (x-a) \bruchhilfealign + s \tilde{r}(x) (x-a) +\tilde{s} r (x) (x-a) + r(x) \tilde{r}(x) (x-a) ) (x-a)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund von
[[Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
für
\definitionsverweis {Limiten}{}{}
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert $0$ für
\mathl{x=a}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
b) Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
}
{
a) Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 2x x-(x^2-1) }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g'(y)
}
{ =} { { \frac{ 2y (y-1) -y^2 }{ (y-1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ y^2 -2y }{ y^2 -2y +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{g(f(x))
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 }{ { \frac{ x^2-1 }{ x } } -1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) } ^2 }{ x( x^2-1) -x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
c) Die Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2x^2 + 1 }{ x^3-x^2 -x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{h'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( 4x^3-4x \right) } { \left( x^3-x^2 -x \right) } - { \left( x^4 -2x^2 + 1 \right) } { \left( 3 x^2-2x -1 \right) } }{ { \left( x^3-x^2 -x \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4x^6 -4x^5 -4x^4 -4x^4 +4x^3 +4x^2 - { \left( 3x^6-2x^5 -x^4 -6x^4+4x^3 +2x^2 + 3 x^2-2x -1 \right) } }{ x^2 { \left( x^2-x -1 \right) }^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^2 { \left( x^4 +x^2 +1 -2 x^3 -2x^2 +2x \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 - x^4 - x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
}
{}
{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ g'(f(x)) f'(x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } }{ { \left( { \frac{ x^2-1 }{ x } } \right) }^2 -2 { \frac{ x^2-1 }{ x } } +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x }{ { \left( x^2-1 \right) }^2 -2 { \left( x^2-1 \right) } x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x }{ x^4-2x^2 +1 -2 x^3 +2 x + x^2 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^4 -2 x^3 -2x^2 +2 x +1 }{ x^4 -2x^3 - x^2 +2x +1 } } \cdot { \frac{ x^2+1 }{ x^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ x^6 -2x^5 -x^4 -x^2 +2x +1 }{ x^6 - 2x^5 -x^4 + 2 x^3 +x^2 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+2+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {x^4-x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Nullstellen der Funktion.
}{Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
}{Bestimme die Extrema der Funktion.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3
}
{ =} { x^3(x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb gibt es die beiden Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {1} {.}
}{Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3
}
{ =} { x^3(x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für negatives $x$ sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Faktor $x^3$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ =} {4x^3-3x^2
}
{ =} { x^2(4x-3)
}
{ =} { 4 x^2{ \left( x- { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen der Ableitung sind also
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { 12x^2-6x
}
{ =} { 6x(2x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und hat wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } -1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dort einen positiven Wert. Also liegt in ${ \frac{ 3 }{ 4 } }$ ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x^2+6x+1 }{ 4x +4 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.
}
{
Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (2x+6)( 4x+4) - 4 (x^2 +6x+1 ) }{ (4x+4 )^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4x^2 +8x + 20 }{ 16(x^2+2x+1) } }
}
{ =} { { \frac{ x^2 +2x + 5 }{ 4 (x^2+2x+1) } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ 4 (2x +2)(x^2+2x+1) - 4 (x^2 +2x + 5 ) (2 x +2) }{ 16 (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (2x +2) { \left( (x^2+2x+1) - (x^2 +2x + 5 ) \right) } }{ 4 (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 2x +2 }{ (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(1)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (1)
}
{ =} { { \frac{ - 4 }{ 16 } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 8 } } (x-1)^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^2 \ln x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $\R_+$.
}
{
Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_a^b x^2 \ln x dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x \right) | _{ a } ^{ b } - \int_a^b { \frac{ 1 }{ 3 } } x^2 dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x - { \frac{ 1 }{ 9 } } x^3} { }
eine Stammfunktion zu $f$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
-4 y &
+2 z &
+5 w & = & 12 \\ x &
+5 y &
+7 z &
+ w & = & 1 \\ &
+ y &
+ z &
+2 w & = & 3 \\ &
+3 y &
+2 z &
+ w & = & 2 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
-19 y &
-19 z &
+2 w & = & 9 \\
&
+ y &
+ z &
+2 w & = & 3 \\
&
+3 y &
+2 z &
+ w & = & 2 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{-2III+I}{} und
\mathl{-2III+I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
-25 y &
-23 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 5 \\
&
-5 y &
-3 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{I-5II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -8 z
}
{ =} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 19 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 33 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ 67 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $K^4$.
}
{
Da in allen Vektoren zwei Einträge gleich $1$ sind, gehören wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sämtliche Vektoren zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der durch
\mathdisp {x_1+x_2+x_3+x_4} { }
gegebenen
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}
Die Dimension ist also maximal gleich $3$. Wir betrachten den dritten, zweiten und den ersten Vektor der Familie, also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix}} { }
als Matrix. Die ersten drei Zeilen davon bilden eine obere Dreiecksmatrix mit Determinante $1$. Also ist der Rang dieser Untermatrix gleich $3$ und somit ist die Dimension des erzeugten Raumes
gleich $3$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -{ \frac{ 1 }{ 5 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 5 }{ 16 } } & -{ \frac{ 1 }{ 16 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K
} {M} { \det M
} {,}
für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Einträge mit
\mathl{a_{ij}}{} bezeichnen, und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M'
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir die Einträge mit
\mathl{a'_{ij}}{} bezeichnen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'_{ij}
}
{ = }{ a_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nach Induktionsvoraussetzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M'_i
}
{ =} { s \det M_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a'_{kj}
}
{ = }{ s a_{kj}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M'_k
}
{ =} { M_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ist somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det M'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} {a'}_{i1} \det M'_i
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k}^n (-1)^{i+1} {a'}_{i1} \det M'_i +(-1)^{k+1} {a'}_{k1} \det M'_k
}
{ =} { \sum_{i = 1,\, i \neq k}^n (-1)^{i+1} {a}_{i1} s \det M_i + (-1)^{k+1} s {a}_{k1} \det M_k
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} s {a}_{i1} \det M_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { s \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+1} {a}_{i1} \det M_i
}
{ =} { s \det M
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}