Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/31/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 1 3 3 3 3 4 6 6 3 3 4 4 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Primzahl.
  2. Der Betrag einer reellen Zahl.
  3. Die eulersche Zahl .
  4. Die Taylor-Reihe im Punkt zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion .
  5. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine natürliche Zahl heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr und sind.
  2. Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
  3. Die eulersche Zahl ist durch

    definiert.

  4. Die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt ist
  5. Die Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
    1. .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit und ist auch .
  6. Ein Element , , heißt ein Eigenvektor von , wenn

    mit einem gewissen gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Induktionsprinzip für Aussagen.
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.


Lösung

  1. Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
    1. ist wahr.
    2. Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
    Dann gilt für alle .
  2. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  3. Es sei

    eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall konvergiere und dort die Funktion darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

    auf konvergent. Die Funktion ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge cm und mit einem Durchmesser von cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke mm.

  1. Wer verwendet mehr Butter?
  2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
  3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?


Lösung

  1. Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche (in Quadratzentimetern) gleich

    Wegen hat Heidi Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich

    Lucy verwendet also mehr Butter.

  2. Lucy verwendet

    Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.

  3. Es ist

    Lucy kann also Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.


Aufgabe (2 Punkte)

In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben. „Es sei die Aussage, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese Pferde überhaupt die gleiche Farbe“. Analysiere diese Argumentation.


Lösung Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring über einem Körper die invertierbaren Elemente, also Polynome , für die es ein weiteres Polynom mit gibt.


Lösung

Es sind genau die konstanten Polynome , invertierbar. Wegen besitzen diese ein Inverses. Das Nullpolynom ist sicher nicht invertierbar. Sei nun

ein nichtkonstantes Polynom, also und . Dann besitzt für jedes Polynom das Polynom

einen Grad , ist also nicht (und ).


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle Folge. Es gelte

für alle . Folgt daraus, dass eine Cauchy-Folge ist?


Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch

gegeben ist. Es ist dann

und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach [[Reihe/Harmonische Reihe/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Reihe/Harmonische Reihe/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.


Lösung

Für ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

Dies ist für kleiner als . Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir gehen von

und

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Lemma 10.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .


Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei und .

a) Bestimme die Ableitung von und von .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung .

c) Bestimme die Ableitung von mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von mittels der Kettenregel.


Lösung

a) Nach der Quotientenregel ist

und

b) Es ist

c) Die Ableitung von

ist

d) Es ist


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
  2. Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
  3. Bestimme die Extrema der Funktion.


Lösung

  1. Es ist

    Deshalb gibt es die beiden Nullstellen und .

  2. Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung

    Für negatives sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für ist der Faktor positiv und der Faktor negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.

  3. Es ist

    Die Nullstellen der Ableitung sind also und . Bei gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist

    und hat wegen

    dort einen positiven Wert. Also liegt in ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung zur rationalen Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Nach der Quotientenregel ist

und

Es ist

und

Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zu

auf .


Lösung

Mit partieller Integration erhält man die Beziehung

und daher ist

eine Stammfunktion zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Lösung

Da in allen Vektoren zwei Einträge gleich sind, gehören wegen sämtliche Vektoren zum Kern der durch

gegebenen Linearform. Die Dimension ist also maximal gleich . Wir betrachten den dritten, zweiten und den ersten Vektor der Familie, also

als Matrix. Die ersten drei Zeilen davon bilden eine obere Dreiecksmatrix mit Determinante . Also ist der Rang dieser Untermatrix gleich und somit ist die Dimension des erzeugten Raumes gleich .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Determinante

für beliebiges und beliebige Vektoren , für und für die Gleichheit

gilt.


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Es sei

wobei wir die Einträge mit bezeichnen, und

wobei wir die Einträge mit bezeichnen. Für ist und nach Induktionsvoraussetzung ist

Für ist und

Insgesamt ist somit