Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 10/latex

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\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Die Telefonanbieter $A,B$ und $C$ kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr $j$ durch das Kundentupel
\mathl{K_j=(a_j,b_j,c_j)}{} ausgedrückt wird (dabei steht $a_j$ für die Anzahl der Kunden von $A$ im Jahr $j$ u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten. \aufzaehlungdrei{Die Kunden von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$ und wechseln zu je $10\%$ zu $B$ bzw. zu $C$. }{Die Kunden von $B$ bleiben zu $70\%$ bei $B$ und wechseln zu $10\%$ zu $A$ und zu $20\%$ zu $C$. }{Die Kunden von $C$ bleiben zu $50\%$ bei $C$ und wechseln zu $20\%$ zu $A$ und zu $30\%$ zu $B$. }

a) Bestimme die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} (bzw. die Matrix), die das Kundentupel
\mathl{K_{j+1}}{} aus $K_j$ berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(12000,10000,8000)}{} innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel
\mathl{(10000,0,0)}{} in vier Jahren?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} \mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich zweier \definitionsverweis {Basen}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn die Spalten der Matrix ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^m$ bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V } {} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2+3{ \mathrm i} & 1-{ \mathrm i} \\ 5-4{ \mathrm i} & 6-2{ \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Bestimme, ob die \definitionsverweis {komplexe}{}{} \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

b) Finde eine Lösung für das \definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {K^3} {K^2 } {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } {.} Es sei $U \subseteq K^3$ der durch die lineare Gleichung $2x+3y+4z=0$ definierte \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $K^3$, und $\psi$ sei die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf $U$. Zu $U$ gehören Vektoren der Form
\mathdisp {u=(0,1,a),\, v=(1,0,b) \text{ und } w=(1,c,0)} { . }
Berechne
\mathl{a,b,c}{} und die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} zwischen den \definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ b }_1= v,w , \, \mathfrak{ b }_2 = u,w \text{ und } \mathfrak{ b }_3 = u,v} { }
von $U$ sowie die \definitionsverweis {beschreibenden Matrizen}{}{} für $\psi$ bezüglich dieser drei Basen \zusatzklammer {und der Standardbasis auf $K^2$} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Führe das Invertierungsverfahren für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr $j$ wird daher durch ein $5$-Tupel
\mathl{B_j=(b_{1,j},b_{2,j},b_{3,j},b_{4,j},b_{5,j})}{} angegeben.

Von den Traglingen erreichen
\mathl{7/8}{-}tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen
\mathl{9/10}{-}tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen
\mathl{5/6}{-}tel das reife Alter und von den Reifen erreichen
\mathl{2/3}{-}tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und $10$ Halbstarke zeugen $5$ Nachkommen und $10$ Reife zeugen $8$ Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand
\mathl{B_{j+1}}{} aus dem Bestand
\mathl{B_j}{} berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand
\mathl{(200,150,100,100,50)}{} im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand
\mathl{(0,0,100,0,0)}{} in fünf Jahren?

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $z \in {\mathbb C}$ eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} und es sei \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {w} {zw } {,} die dadurch definierte Multiplikation, die eine ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Wie sieht die \definitionsverweis {Matrix}{}{} zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen \mathkor {} {z_1} {und} {z_2} {} mit den beiden reellen Matrizen \mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {} die \definitionsverweis {Produktmatrix}{}{} $M_2 \circ M_1$ die beschreibende Matrix zu $z_1z_2$ ist.

}
{} {}



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