Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex

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\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme explizit den \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} und den Zeilenrang der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\6 & -1 & 3 \end{pmatrix}} { . }
Beschreibe \definitionsverweis {lineare Abhängigkeiten}{}{} \zusatzklammer {falls solche existieren} {} {} zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} der \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} nicht ändert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+3 { \mathrm i} & 5-{ \mathrm i} \\ 3-2{ \mathrm i} & 4+{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \\8 & 7 & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Induktion, dass bei einer \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} und die Eigenschaft, \definitionsverweis {alternierend}{}{} zu sein, direkt für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $3\times3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit quadratischen Matrizen \mathkor {} {A} {und} {D} {} schreiben kann. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M }
{ =} { \det A \cdot \det D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, für welche $x \in {\mathbb C}$ die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linalg_parallelogram_area.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Linalg parallelogram area.png } {Nicholas Longo} {Thenub314} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren \mathkor {} {(x_1,y_1)} {und} {(x_2,y_2)} {} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten \stichwort {Parallelogramms} {} \zusatzklammer {bis auf das Vorzeichen} {} {} übereinstimmt.




$\,$

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $m,n,p \in \N$. Zeige, dass das \definitionsverweis {Transponieren von Matrizen}{}{} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei seien $A,B \in \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)$, $C \in \operatorname{Mat}_{ n \times p } (K)$ und $s \in K$} {.} {.} \aufzaehlungvier{ ${ ({ A^{ \text{tr} } } )^{ \text{tr} } } =A$. }{ ${ (A+B)^{ \text{tr} } } = { A ^{ \text{tr} } } + { B^{ \text{tr} } }$. }{ ${ (s A) ^{ \text{tr} } } = s \cdot { A^{ \text{tr} } }$. }{ ${ (A \circ C)^{ \text{tr} } } = { C^{ \text{tr} } } \circ { A ^{ \text{tr} } }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { , }
indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} aller $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $z \in {\mathbb C}$ und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {w} {zw } {,} die zugehörige Multiplikation. Bestimme die \definitionsverweis {Determinante}{}{} dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung \maabb {} {\R^2} {\R^2 } {} auffasst.

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zu
\mathl{a \in K}{} heißt die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {V} {V } {v} {av } {,} die \definitionswort {Streckung}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Homothetie}{}} {} {} zum \stichwort {Streckungsfaktor} {} $a$.





\inputaufgabe
{}
{

Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {Streckung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei \definitionsverweis {Streckungen}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} \mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die bezüglich zweier \definitionsverweis {Basen}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi }
{ =} { \operatorname{rang} \, M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} & 5 \\ { \mathrm i} & 1 & 3- { \mathrm i} \\2 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die Determinante der Matrix
\mathdisp {A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} der \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 7 \\ 2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\2 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}



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