Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {ax } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus einem nichtleeren
\definitionsverweis {offenen Intervall}{}{}
$]x- \delta, x + \delta[$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ < }{ b
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
und es seien
\maabbdisp {g} {[a,b]} {\R
} {}
und
\maabbdisp {h} {[b,c]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g (b)
}
{ = }{ h(b)
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann die Funktion
\maabbdisp {f} {[a,c]} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\maabb {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)
}
{ =} { b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,a)
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f(x),b)
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { 2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ 3n^3-5n^2+7 }{ 4n^3+2n-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3+3x^2-1 }{ x^3-x^2+x+3 } }} { }
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
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