Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 16

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe

Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.


Aufgabe *

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von nach nicht gelten muss.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.




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