Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^2+x-1,$

eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$ mithilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

Aufgabe

Es sei

$f:[0,1]⟶[0,1[$

eine stetige Funktion. Zeige, dass $f$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls  $I\subseteq ℝ$  und einer stetigen Funktion

$f:I⟶ℝ$

derart, dass das Bild von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

$\tilde{f}:ℝ⟶ℝ$

von $f$ gibt.

Aufgabe

Es sei

$f:I⟶ℝ$

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten $x_1,x_2\in I$, $x_1<x_2$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen $x_1$ und $x_2$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Bestimme direkt, für welche  $n\in \mathbb{N}$  die Potenzfunktionen

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^n,$

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.

Aufgabe *

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\mathbb{Q}$ nach $\mathbb{Q}$ nicht gelten muss.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_n=\sqrt{\frac{7n^2-4}{3n^2-5n+2}},n\in \mathbb{N}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^2+3x-5.$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^3-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall $[0,1]$ mithilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_n=\sqrt[3]{\frac{27n^3+13n^2+n}{8n^3-7n+10}},n\in \mathbb{N}.$

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ heißt gerade, wenn für alle  $x\in ℝ$  die Gleichheit

$f(x)=f(-x)$

gilt.

Eine Funktion $f:ℝ\to ℝ$ heißt ungerade, wenn für alle  $x\in ℝ$  die Gleichheit

$f(x)=-f(-x)$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

als  $f=g+h$  mit einer stetigen geraden Funktion $g$ und einer stetigen ungeraden Funktion $h$ schreiben kann.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei $M$ eine Menge und

$f:M⟶M$

eine Abbildung. Ein Element  $x\in M$  mit  $f(x)=x$  heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f:[a,b]⟶[a,b]$

eine stetige Funktion des Intervalls $[a,b]$ in sich. Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt.

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