Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+x-1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/100$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1[$

eine stetige Funktion. Zeige, dass ${}f$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und einer stetigen Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten ${}x_{1},x_{2}\in I$, ${}x_{1}<x_{2}$, lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Bestimme direkt, für welche ${}n\in \mathbb {N}$ die Potenzfunktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.

Aufgabe *

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}+3x-5.$

Aufgabe (5 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/200$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt[{3}]{\frac {27n^{3}+13n^{2}+n}{8n^{3}-7n+10}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=-f(-x)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

als ${}f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion ${}g$ und einer stetigen ungeraden Funktion ${}h$ schreiben kann.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [a,b]$

eine stetige Funktion des Intervalls ${}[a,b]$ in sich. Zeige, dass ${}f$ einen Fixpunkt besitzt.

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