Den Abstand zwischen zwei reellen Zahlen
und
bezeichnen wir mit
.
Bei einer Funktion
kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei
und
der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an sind, auch die Bildpunkte „nahe“ an sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen weden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass es zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.
Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein
vorgegeben. Dieses repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein
finden kann
(eine „Startgenauigkeit“)
mit der Eigenschaft, dass für alle mit
die Beziehung
gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.
eine
Funktion
und
. Man sagt, dass stetig
im Punkt ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt
stetig ist.
Bei sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass ganz ist, oder ein Intervall, oder ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den reellen Zahlen
und
kann man genauso gut mit Stammbrüchen
und
arbeiten.
Diese Funktion ist im Nullpunkt nicht stetig. Für
und jedes beliebige positive gibt es nämlich negative Zahlen mit
.
Für diese ist aber
.
Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig ist, aber nirgendwo differenzierbar. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen (die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen) kann man aber nicht kontrollieren.
Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.
Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Dazu sei
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt. Nach der Wahl von ist dann
sodass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
eine
Funktion.
Dann heißt
Grenzwert
(oder
Limes)
von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert,
auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man
Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in gibt, die gegen konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ein Intervall,
sei ein Punkt darin und es sei
.
Die Funktion sei auf , aber nicht im Punkt definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man zu einer sinnvollen Funktion auf ganz fortsetzen kann. Dabei soll durch bestimmt sein.
Für eine stetige Funktion
folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion
(durch
)
genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von in gleich ist.