Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 15

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist
  2. Für jedes gibt es ein derart, dass für alle mit die Abschätzung gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .




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