Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 2 }^{ 5 } \frac{x^2+3x-6}{x-1} \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die zweite
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { \int_{ 0 }^{ x } \sqrt{t^5-t^3+2t} \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Körper werde zum Zeitpunkt $0$ losgelassen und falle luftwiderstandsfrei aus einer gewissen Höhe unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde nach unten. Berechne die Geschwindigkeit
\mathl{v(t)}{} und die zurückgelegte Strecke
\mathl{s(t)}{} in Abhängigkeit von der Zeit $t$. Nach welcher Zeit hat der Körper $100$ Meter zurückgelegt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {g} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die Funktion
\mathdisp {h(x)= \int_{ 0 }^{ g(x) } f(t) \, d t} { }
differenzierbar ist und bestimme ihre
\definitionsverweis {Ableitung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {[0,1]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Betrachte die durch
\mathdisp {a_n := \int_{ \frac{1}{n+1} }^{ \frac{1}{n} } f(t) \, d t} { }
definierte
\definitionsverweis {Folge}{}{.}
Entscheide, ob diese Folge
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Reihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabb {f} {[0,1]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass dann die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{a_n} f(x) dx} { }
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{}
auf $[a,b]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige: Ist $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x)dx
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{0}^{x} e^{t^2} dt
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine einzige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{a}^{b} f(x) dx
}
{ =} { \int_{a}^{b} g(x) dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Beweise, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Flächeninhalt unterhalb\zusatzfussnote {Gemeint ist hier der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der $x$-Achse} {.} {} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 7 } \frac{x^3-2x^2-x+5}{x+1} \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
mit
\mathdisp {f(x)=x^2 \text{ und } g(x)=-2x^2+3x+4} { }
eingeschlossen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
mit
\mathdisp {f(t)= \begin{cases} 0 \text{ für } t=0, \\ \sin \frac{1}{t} \text{ für } t \neq 0 \, .\end{cases}} { }
Zeige, unter Bezug auf die Funktion
\mathl{g(x)=x^2 \cos \frac{1}{x}}{,} dass $f$ eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(t)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f(t)g(t) \, d t
}
{ =} { f(s) \int_{ a }^{ b } g(t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
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