Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{\sqrt {\pi }}x\sin x^{2}\,dx.$

In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Aufgabe *

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\tan x.$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{n}\cdot \ln x.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{\sqrt {x}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {x^{3}}{\sqrt[{5}]{x^{4}+2}}}.$

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$

Aufgabe *

Bestimme, für welche ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktion

$a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$

ein Maximum oder ein Minimum besitzt.

Aufgabe

Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch

$[8,18]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=-x^{2}+25x-100,$

beschrieben. Dabei ist ${}x$ die Zeit in Stunden und ${}y=f(x)$ ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und es seien ${}b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$(bt+c)\cdot f(t)$

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

$\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto x^{1/n},$

unter Verwendung der Stammfunktion von ${}x^{n}$ und Satz 25.4.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)dy$

die Substitution ${}y=f(x)$ durchführt und anschließend partiell integriert.

Aufgabe *

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {3x^{2}+5x-4}}.$

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}+3e^{x}-\sin x,$

über ${}[-1,0]$.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$

über ${}[1,4]$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral ${}\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion ${}f$ durch

$f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$

gegeben ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$x^{3}\cdot \cos x-x^{2}\cdot \sin x.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\arcsin x.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\sin(\ln x).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$e^{x}\cdot {\frac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion ${}F$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}F$ und ${}H$ eine Stammfunktion von ${}G$. Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$. Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

${\left(at^{2}+bt+c\right)}\cdot f(t)$

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