Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall $[- 4, 5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf $[- 4, 5]$ , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte $2$ und $- 1$ annimmt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion $f : [a, b] \to ℝ$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Es sei

f : [a, b] ⟶ [c, d]

eine Treppenfunktion und

g : [c, d] ⟶ ℝ

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung $g \circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

f : [a, b] ⟶ [c, d]

und einer Treppenfunktion

g : [c, d] ⟶ ℝ

derart, dass die Hintereinanderschaltung $g \circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

\int_{0}^{1} t d t

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

\int_{1}^{2} t^{3} d t

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe *

Es sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall und sei

f : I ⟶ ℝ

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${(s_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $s_{n} \leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${(t_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $t_{n} \geq f$ . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$ Riemann-integrierbar ist und dass

lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} s_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} t_{n} (x) d x

gilt.

Aufgabe

Es sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall und sei

f : I ⟶ ℝ

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Die Funktion $f$ ist Riemann-integrierbar.
Es gibt eine Unterteilung $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen $f_{i} := f |_{[a_{i - 1}, a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
Für jede Unterteilung $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ sind die Einschränkungen $f_{i} := f |_{[a_{i - 1}, a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe

Es sei $I = [a, b] \subseteq ℝ$ ein kompaktes Intervall und es seien $f, g : I \to ℝ$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

Ist $m \leq f (x) \leq M$ für alle $x \in I$ , so ist $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (t) d t \leq M (b - a)$ .
Ist $f (x) \leq g (x)$ für alle $x \in I$ , so ist $\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t$ .
Es ist $\int_{a}^{b} f (t) + g (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{a}^{b} g (t) d t$ .
Für $c \in ℝ$ ist $\int_{a}^{b} (c f) (t) d t = c \int_{a}^{b} f (t) d t$ .

Aufgabe

Es sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall und $f : I \to ℝ$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

| \int_{a}^{b} f (t) d t | \leq \int_{a}^{b} | f (t) | d t

gilt.

Aufgabe

Es sei $I = [a, b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f, g : I \to ℝ$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch $f g$ Riemann-integrierbar ist.