Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex

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\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{x \in \R}{} und betrachte die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {t} { f(t) = t^x e^{-t} } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Extremwerte}{}{} dieser Funktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} für
\mathl{k \in \N}{} die Beziehung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, { \left({ \frac{ 2k-1 }{ 2 } }\right) } = { \frac{ \prod_{i = 1}^{k} (2i-1) }{ 2^k } } \cdot \sqrt{\pi}} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass für
\mathl{x \geq 1}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ 0 }^{ 1 } t^x e^{-t} \, d t }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

b) Zeige, dass die Funktion
\mathl{H(x)}{} mit
\mathdisp {H(x) = \int_{ 1 }^{ \infty } t^x e^{-t} \, d t} { }
für
\mathl{x \geq 1}{} monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass
\mathl{10! \geq e^{11} +1}{} gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für
\mathl{x \geq 10}{} die Abschätzung
\mathdisp {\operatorname{Fak} \, (x) \geq e^x} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-4t+7 \text{ mit } y(2) = 5} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde alle Lösungen zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer \definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{} der Abstand zwischen zwei Lösungen \mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {} zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{} \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {Fakultätsfunktion}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fak} \, (x) }
{ =} { \int_{ 0 }^{ 1 } (- \ln t)^x \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Finde eine Lösung zur \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y'=t + y} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }

}
{} {}



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