Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 27
- Aufwärmaufgaben
Es sei
eine wachsende Funktion und . Zeige, dass die Folge , , genau dann gegen konvergiert, wenn
gilt, wenn also die Funktion für den Grenzwert besitzt.
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und
eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals
nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.
Es sei ein beschränktes offenes Intervall und
eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral
existiert und mit dem bestimmten Integral
übereinstimmt.
Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.15).
Bestimme das uneigentliche Integral
Es sei ein beschränktes Intervall und es sei
eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion
derart, dass das uneigentliche Integral existiert.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (8 Punkte)
(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)
- Aufgaben zum Hochladen[1]
Aufgabe (6 Punkte)
Erstelle für die rationale Funktion eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt.
Aufgabe (5 Punkte)
Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.
- Fußnoten
- ↑ Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild (Animation etc.) mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen (genau kategorisieren) und es in den Kurs einzubinden (siehe Materialseite des Kurses). Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.
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