Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 27

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei

eine wachsende Funktion und . Zeige, dass die Folge , , genau dann gegen konvergiert, wenn

gilt, wenn also die Funktion für den Grenzwert besitzt.


Aufgabe

Sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und

eine stetige Funktion. Zeige, dass die Existenz des uneigentlichen Integrals

nicht vom gewählten Startpunkt abhängt.


Aufgabe

Sei ein beschränktes offenes Intervall und

eine stetige Funktion, die sich auf stetig fortsetzen lässt. Zeige, dass dann das uneigentliche Integral

existiert und mit dem bestimmten Integral

übereinstimmt.


Aufgabe

Formuliere und beweise Rechenregeln für uneigentliche Integrale (analog zu Lemma 23.5).


Aufgabe *

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe

Bestimme das uneigentliche Integral


Aufgabe

Es sei ein beschränktes Intervall und es sei

eine stetige Funktion. Es sei eine fallende Folge in mit dem Grenzwert und eine wachsende Folge in mit dem Grenzwert . Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass die Folge

gegen das uneigentliche Integral konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert und berechne es im Falle der Existenz.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine unbeschränkte, stetige Funktion

derart, dass das uneigentliche Integral existiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert und berechne es im Falle der Existenz.


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.


Aufgabe (8 Punkte)

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

existiert.

(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)



Aufgaben zum Hochladen[1]

Aufgabe (6 Punkte)

Erstelle für die rationale Funktion eine Skizze, die die reelle Partialbruchzerlegung dieser Funktion darstellt.


Aufgabe (5 Punkte)

Man fertige eine Skizze an, die die eulersche Konstante als einen Flächeninhalt darstellt.




Fußnoten
  1. Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild (Animation etc.) mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen (genau kategorisieren) und es in den Kurs einzubinden (siehe Materialseite des Kurses). Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.



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